ریاضی کنکوریهمه مقالههامسائل سن با معادله؛ تبدیل رابطه‌های سنی به پاسخ دقیق
راهنمای مرحله‌به‌مرحله تبدیل مسئله‌های سن به جدول و معادله، همراه با مثال محاسباتی، کنترل منطقی و تمرین خودسنجی.
پاسخ کوتاه
مسائل سن با معادله زمانی ساده می‌شوند که یک سن را مجهول بگیریم و سن‌های دیگر را با همان مبنا بنویسیم. ابتدا مشخص کن سؤال درباره گذشته، حال یا آینده است؛ سپس رابطه‌ها را به معادله تبدیل و در پایان جواب را با متن مسئله کنترل کن.
ایده اصلی و انتخاب مجهول
معمولاً سن فعلی یکی از افراد را x می‌گیریم. اگر سن فعلی فردی دیگر ۵ سال بیشتر باشد، آن را x+5 می‌نویسیم و اگر ۳ سال کمتر باشد، x−3 خواهد بود. همه سن‌ها باید مربوط به یک زمان باشند؛ اشتباه رایج این است که سن فعلی یک نفر با سن پنج سال قبل فرد دیگر مقایسه شود، بدون اینکه زمان‌ها هماهنگ شوند.
مسائل سن با معادله چگونه جدول‌بندی می‌شوند؟
یک جدول سه‌ستونه برای گذشته، حال و آینده بساز. اگر سن فعلی علی x باشد، سن او چهار سال قبل x−4 و شش سال بعد x+6 است. برای هر شخص یک ردیف جدا بنویس و تغییر زمان را به همه افراد اعمال کن. این جدول از جابه‌جایی علامت‌ها و ترکیب‌کردن سن‌های مربوط به زمان‌های متفاوت جلوگیری می‌کند.
ترجمه عبارت‌های متداول سؤال
«دو برابر سن» یعنی 2x، «سه سال بعد» یعنی x+3 و «پنج سال قبل» یعنی x−5. اگر گفته شود سن پدر اکنون سه برابر سن فرزند است و ۱۰ سال بعد دو برابر می‌شود، با x برای سن فعلی فرزند می‌نویسیم: سن پدر 3x، سن فرزند x، و رابطه آینده 3x+10=2(x+10). کلمه «بعد» باید به هر دو سن اضافه شود.
مثال محاسباتی کامل
سن فعلی مادر چهار برابر سن دختر است و ۶ سال بعد سن مادر دو برابر سن دختر خواهد بود. سن دختر را x می‌گیریم؛ سن مادر 4x است. شش سال بعد داریم 4x+6=2(x+6). با باز کردن پرانتز: 4x+6=2x+12، پس 2x=6 و x=3. بنابراین دختر ۳ سال و مادر ۱۲ سال دارد. کنترل: شش سال بعد سن‌ها ۹ و ۱۸ هستند و ۱۸ دو برابر ۹ است.
کنترل دامنه و معقول‌بودن پاسخ
هر جواب جبری الزاماً پاسخ مسئله نیست. سن باید نامنفی باشد و در رابطه‌های گذشته، سن فرد در آن زمان نباید منفی شود. پس از حل، مقدار را در همه عبارت‌های مسئله جای‌گذاری کن. همچنین ببین کدام سن بزرگ‌تر معرفی شده است؛ اگر پدر باید از فرزند بزرگ‌تر باشد اما نتیجه برعکس شد، یا ترجمه رابطه یا حل algebra اشتباه است.
دام‌های رایج در حل
یک دام، اضافه‌کردن زمان فقط به یکی از افراد است؛ وقتی سؤال می‌گوید «شش سال بعد»، این تغییر برای همه افراد اعمال می‌شود. دام دوم، استفاده از سن گذشته به جای سن فعلی در ضریب است. دام سوم، حذف واحد سال در میانه حل و اشتباه گرفتن «دو برابرِ سن شش سال بعد» با «دو برابر سن فعلی به‌علاوه شش». عبارت را دقیق به پرانتز تبدیل کن: 2(x+6).
جمع‌بندی و تمرین خودسنجی
روش مطمئن این است: مجهول را انتخاب کن، جدول زمان بساز، رابطه‌ها را بنویس، معادله را حل کن و جواب را در متن بررسی کن. در مسائل چندنفره نیز همین روش برقرار است؛ فقط باید زمان هر ردیف یکسان باشد. تمرین‌های زیر برای کنترل یادگیری‌اند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: اختلاف سن دو نفر ۸ سال است و مجموع سن فعلی آن‌ها ۴۰ سال است. سن هرکدام را بیابید.
سن فرد کوچک‌تر را x می‌گیریم؛ سن فرد بزرگ‌تر x+8 است. بنابراین x+(x+8)=40، پس 2x=32 و x=16. سن فرد بزرگ‌تر 24 سال است. کنترل: اختلاف 24 و 16 برابر 8 و مجموع آن‌ها 40 است.
تمرین ۲: سن پدر سه برابر سن پسر است. چهار سال بعد، سن پدر دو برابر سن پسر خواهد بود. سن فعلی هرکدام را پیدا کنید.
سن پسر را x و سن پدر را 3x می‌گیریم. چهار سال بعد رابطه 3x+4=2(x+4) است. پس 3x+4=2x+8 و x=4. بنابراین پسر ۴ سال و پدر ۱۲ سال دارد. کنترل: چهار سال بعد سن‌ها ۸ و ۱۶ هستند و ۱۶ دو برابر ۸ است.
چک‌لیست حل تست
- سن فعلی را با x مشخص کن و همه سن‌ها را نسبت به همان زمان بنویس.
- برای عبارت‌هایی مانند «دو برابر سن در پنج سال بعد» از 2(x+5) استفاده کن.
- پس از حل، هم رابطه عددی و هم منطقی‌بودن ترتیب سن‌ها را بررسی کن.
- اگر سؤال گذشته را مطرح می‌کند، منفی‌شدن سن را به‌عنوان هشدار خطا در نظر بگیر.