معادله درجه دوم کنکور؛ روش‌های سریع حل و کنترل جواب

پاسخ کوتاه

در معادله درجه دوم همیشه دلتا بهترین انتخاب نیست. اگر الگوی ضرب و جمع ضرایب پیدا باشد، تجزیه سریع‌تر است؛ اگر سؤال فقط مجموع یا حاصل‌ضرب ریشه‌ها را بخواهد، روابط ویتا کافی است؛ و وقتی عبارت مربعی کامل دیده می‌شود، کامل‌کردن مربع راه کوتاه‌تری می‌سازد.

برای حل معادله درجه دوم کنکور کدام روش را انتخاب کنیم؟

پیش از شروع، معادله را به فرم استاندارد ax²+bx+c=0 با a≠0 برسان. انتقال ناقص جمله‌ها یکی از رایج‌ترین علت‌های خطای علامت است.

مثال حل سریع با تجزیه

معادله x²−5x+6=0 را در نظر بگیر. دو عدد می‌خواهیم که حاصل‌ضربشان ۶ و مجموعشان منفی ۵ باشد: منفی ۲ و منفی ۳.

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 ⟹ x = 2 , 3

کنترل ذهنی: مجموع دو جواب ۵ است و باید با −b/a=5 برابر باشد؛ حاصل‌ضرب نیز ۶ است. پس هر دو جواب با ضرایب سازگارند.

دلتا، تعداد ریشه‌ها و مثال پارامتری

Δ = b² − 4ac    ,    x = (−b ± √Δ) / 2a

اگر دلتا مثبت باشد دو ریشه حقیقی متمایز، اگر صفر باشد یک ریشه حقیقی مضاعف، و اگر منفی باشد هیچ ریشه حقیقی نداریم. مثلاً معادله x²−4x+k=0 دقیقاً یک ریشه حقیقی دارد؛ بنابراین Δ=16−4k=0 و در نتیجه k=4.

در سؤال‌های مکانی و پارامتری، فقط شمردن ریشه‌ها کافی نیست. راهنمای مکان ریشه‌های معادله درجه دوم شرط‌های بازه و علامت ریشه‌ها را جداگانه توضیح می‌دهد.

روابط ریشه‌ها؛ جواب بدون حل کامل

اگر ریشه‌ها را α و β بنامیم، برای ax²+bx+c=0 داریم:

α + β = −b/a    ,    αβ = c/a

برای نمونه در 2x²−7x+3=0، بدون محاسبه ریشه‌ها می‌دانیم α+β=7/2 و αβ=3/2. اگر سؤال α²+β² را بخواهد، از اتحاد (α+β)²−2αβ استفاده می‌کنیم و به 37/4 می‌رسیم. برای تمرین بیشتر، درس روابط ویتا و ریشه‌های معادله را ببین.

سه خطای پرتکرار در تست

• فراموش‌کردن ضریب a: مجموع ریشه‌ها −b/a است، نه فقط −b.
• تقسیم زودهنگام بر عبارت مجهول: با تقسیم بر x ممکن است ریشه x=0 حذف شود.
• توقف پس از به‌دست‌آوردن دلتا: دلتا تعداد ریشه‌ها را می‌گوید؛ برای مقدار ریشه باید فرمول را کامل کنی، مگر سؤال فقط تعداد را خواسته باشد.

اگر مربع کامل را کند تشخیص می‌دهی، آموزش حل معادله درجه دوم با کامل‌کردن مربع یک مسیر مرحله‌به‌مرحله دارد.

تمرین خودسنجی