حل سؤال دنباله حسابی با جمله اول و آخر؛ روش سریع و قابل کنترل

پاسخ کوتاه

در حل سؤال دنباله حسابی با جمله اول و آخر، اگر تعداد جمله‌ها را بدانیم، لازم نیست تک‌تک جمله‌ها را بنویسیم؛ مجموع برابر است با نصف حاصل‌ضرب تعداد جمله‌ها در مجموع جمله اول و آخر. یعنی اگر جمله اول a، جمله آخر l و تعداد جمله‌ها n باشد، S=n(a+l)/2. مهم‌ترین کار، تشخیص درست تعداد جمله‌ها و اطمینان از متوالی‌بودن اندیس‌هاست.

فرمول اصلی و دلیل آن

در دنباله حسابی فاصله بین جمله‌های پیاپی ثابت است. اگر جمله‌ها را از دو طرف جفت کنیم، جمله اول با جمله آخر، جمله دوم با جمله یکی‌مانده به آخر و به همین ترتیب جمع می‌شوند. مجموع هر جفت برابر a+l است. بنابراین میانگین همه جمله‌ها برابر (a+l)/2 و مجموع n جمله برابر n(a+l)/2 خواهد بود. این روش حتی وقتی قدر نسبت یا اختلاف مشترک مستقیماً لازم نیست، پاسخ را سریع به دست می‌دهد.

تعیین تعداد جمله‌ها از روی اندیس‌ها

گاهی سؤال از جمله‌های a_k تا a_m می‌پرسد، نه از جمله اول دنباله تا جمله nام. در این حالت تعداد جمله‌ها m-k+1 است، نه m-k. برای نمونه، از جمله پنجم تا جمله دوازدهم، هشت جمله داریم؛ چون 12-5+1=8. این یک واحد اضافه، یکی از خطاهای رایج در محاسبات است.

حل سؤال دنباله حسابی با جمله اول و آخر

فرض کنید مجموع جمله‌های پنجم تا دوازدهم دنباله‌ای حسابی را می‌خواهیم و مقدار جمله پنجم 7 و جمله دوازدهم 28 است. تعداد جمله‌ها برابر 12-5+1=8 می‌شود. میانگین دو سر بازه (7+28)/2=35/2 است؛ پس مجموع برابر 8×35/2=140 خواهد بود. در این محاسبه نیازی به یافتن اختلاف مشترک نیست، زیرا دو سر بازه و تعداد جمله‌ها کافی‌اند.

وقتی جمله آخر داده نشده است

اگر جمله آخر مشخص نباشد، ابتدا باید آن را پیدا کنیم. رابطه جمله nام دنباله حسابی a_n=a_1+(n-1)d است. مثلاً اگر a_1=4، اختلاف مشترک d=3 و n=9 باشد، جمله آخر 4+8×3=28 است. سپس مجموع 9 جمله از فرمول 9(4+28)/2=144 به دست می‌آید. ترتیب حل مهم است: نخست تعداد جمله‌ها و دو سر دنباله را مشخص کن، بعد مجموع را حساب کن.

چک‌لیست کنترل پاسخ

یک: آیا دنباله واقعاً حسابی است و اختلاف جمله‌های متوالی ثابت می‌ماند؟ دو: آیا بازه اندیس‌ها شامل هر دو سر است؟ سه: تعداد جمله‌ها را با m-k+1 نوشته‌ای؟ چهار: آیا جمله اول و آخرِ همان بازه را، نه الزاماً کل دنباله را، وارد فرمول کرده‌ای؟ پنج: اگر نتیجه مجموع است، واحد و علامت آن با داده‌های سؤال سازگار است؟

اشتباه‌های رایج در تست

برخی دانش‌آموزان تعداد جمله‌ها را برابر اختلاف دو اندیس می‌گیرند و جمله اول بازه را حذف می‌کنند. خطای دیگر استفاده از جمله اول کل دنباله به جای نخستین جمله بازه است. همچنین فرمول n(a+l)/2 فقط وقتی کاربرد مستقیم دارد که a و l دو سر همان مجموعه جمله‌های مورد جمع باشند. اگر یکی از آن‌ها مجهول است، ابتدا با رابطه جمله عمومی آن را پیدا کن.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

فرمول کلیدی این درس S=n(a+l)/2 است؛ کافی است تعداد جمله‌ها و دو سر بازه را درست تشخیص دهی. در بازه اندیس k تا m، تعداد جمله‌ها m-k+1 است. تمرین ۱: مجموع جمله‌های سوم تا دهم دنباله‌ای حسابی را بیابید، اگر جمله سوم 5 و جمله دهم 26 باشد. پاسخ: تعداد جمله‌ها 10-3+1=8 است؛ بنابراین S=8(5+26)/2=124. تمرین ۲: مجموع 12 جمله اول دنباله‌ای با جمله اول 2 و اختلاف مشترک 4 را حساب کنید. پاسخ: جمله دوازدهم برابر 2+11×4=46 است؛ پس S=12(2+46)/2=288. در هر دو تمرین، کنترل تعداد جمله‌ها و دو سر بازه، از محاسبه طولانی مهم‌تر است.

تمرین خودسنجی با پاسخ