مقدار متوسط تابع؛ انتگرال روی بازه و نقطه میانگین
آموزش محاسبه مقدار متوسط تابع روی بازه، تفسیر هندسی و یافتن نقطهای که تابع برابر میانگین است.
پاسخ کوتاه
مقدار متوسط تابع روی یک بازه، ارتفاع مستطیلی است که مساحتش با مساحت علامتدار زیر نمودار برابر میشود. برای تابع پیوسته روی [a,b]، انتگرال را بر طول بازه تقسیم میکنیم و سپس در صورت نیاز نقطهای را مییابیم که مقدار تابع در آن با این متوسط برابر باشد.
فرمول مقدار متوسط
برای تابع انتگرالپذیر f روی [a,b] با a<b، مقدار متوسط برابر f_avg=1/(b-a)∫_a^b f(x)dx است. تقسیم بر طول بازه ضروری است؛ خود انتگرال مساحت علامتدار است، نه میانگین ارتفاع.
تفسیر هندسی
عدد f_avg ارتفاع مستطیلی با قاعده b-a است که مساحت علامتدارش برابر انتگرال تابع میشود. اگر تابع در تمام بازه نامنفی باشد، این مستطیل با مساحت هندسی زیر نمودار برابر است.
قضیه مقدار متوسط انتگرال
اگر f روی [a,b] پیوسته باشد، دستکم عددی c در [a,b] وجود دارد که f(c)=f_avg. این قضیه وجود نقطه را تضمین میکند، اما ممکن است چند نقطه چنین مقداری داشته باشند و یکتایی تضمین نمیشود.
اثر انتقال و مقیاس
اگر به تابع عدد k اضافه شود، مقدار متوسط نیز k واحد زیاد میشود. اگر تابع در ضریب m ضرب شود، متوسط در m ضرب میشود؛ این روابط از خطیبودن انتگرال به دست میآیند و محاسبه را کوتاه میکنند.
مثال حلشده
برای f(x)=x² روی [0,3]، انتگرال برابر [x³/3]_0^3=9 است و طول بازه 3؛ پس مقدار متوسط 3 میشود. نقطه میانگین از c²=3 به دست میآید و در بازه، c=√3 است.
دام تستی
اگر تابع بخشی زیر محور x باشد، انتگرال علامتدار میتواند متوسطی کمتر از انتظار هندسی یا حتی صفر بسازد. مقدار متوسط با متوسط دو مقدار f(a) و f(b) فقط برای بعضی توابع مانند خطیها برابر است، نه در حالت عمومی.
چکلیست حل تست
- انتگرال را حتماً بر طول بازه تقسیم کن.
- پیوستگی وجود نقطه میانگین را تضمین میکند.
- مساحت هندسی را با انتگرال علامتدار اشتباه نگیر.