بسط دوجملهای نیوتن؛ جمله عمومی و ضریب مجهول
آموزش بسط (a+b)^n، ضرایب ترکیبی، جمله عمومی و یافتن ضریب یک توان مشخص در تست کنکور.
پاسخ کوتاه
در توانهای بزرگ، بسط کامل زمانبر است. جمله عمومی دوجملهای نیوتن اجازه میدهد مستقیماً جمله دارای توان موردنظر یا جمله مستقل از x را پیدا کنیم، بدون آنکه همه جملهها نوشته شوند.
ساختار ضرایب
ضرایب بسط (a+b)^n از سطر n مثلث پاسکال یا ترکیبهای C(n,k) به دست میآیند. تعداد جملهها n+1 است و مجموع توانهای a و b در هر جمله همواره n میماند.
جمله عمومی
جمله متناظر با k از صفر تا n برابر C(n,k)a^(n-k)b^k است. اگر شماره جمله را از یک بشماریم، جمله rام با k=r-1 متناظر است؛ این جابهجایی یکواحدی از دامهای رایج است.
یافتن توان مشخص
توان x را در جمله عمومی بنویس و با توان خواستهشده برابر قرار بده. پس از یافتن k، همان مقدار را در ضریب ترکیبی و ثابتهای جمله جایگذاری کن. اگر k عدد صحیح بین صفر و n نباشد، آن توان در بسط وجود ندارد.
علامت در تفاضل
در بسط (a-b)^n میتوان b را منفی در نظر گرفت؛ بنابراین علامت جملهها با زوج یا فرد بودن k تغییر میکند. نوشتن (-b)^k از حفظکردن الگوی علامت مطمئنتر است.
مثال و تست کوتاه
ضریب x² در (1+x)^5 برابر C(5,2)=10 است. در (2-x)^4، جمله x³ با k=3 ساخته میشود و ضریب آن C(4,3)×2×(-1)³=-8 خواهد بود.
چکلیست حل تست
- تعداد جملههای بسط n+1 است.
- در جمله rام مقدار k برابر r-1 است.
- برای تفاضل، علامت منفی را داخل توان k نگه دار.