قاعده زنجیرهای مشتق؛ تشخیص تابع در تابع و حل تست
آموزش مشتق تابع مرکب با قاعده زنجیرهای، توان، رادیکال و توابع مثلثاتی همراه مثالهای کنکوری.
پاسخ کوتاه
وقتی یک تابع داخل تابع دیگر قرار گرفته است، مشتق فقط از لایه بیرونی گرفته نمیشود. قاعده زنجیرهای میگوید مشتق بیرون را با حفظ عبارت داخلی بنویس و سپس در مشتق داخل ضرب کن.
تشخیص لایهها
در (3x²+1)^5، توان پنجم لایه بیرونی و 3x²+1 لایه داخلی است. عبارت را موقتاً u^5 ببین تا ساختار روشن شود. اگر چند لایه تو در تو باشند، مشتق هر لایه بهترتیب ضرب میشود.
قاعده توان مرکب
مشتق [u(x)]^n برابر n[u(x)]^(n-1)u'(x) است. عامل u' بخش مهم قاعده زنجیرهای است. در مثال بالا مشتق 5(3x²+1)^4×6x خواهد بود.
رادیکال و توان منفی
رادیکال را به توان کسری تبدیل کن. مشتق √u برابر u'/(2√u) است. در توابع کسری نیز نوشتن مخرج به توان منفی میتواند قاعده زنجیرهای را آشکار کند، اما دامنه تابع اولیه باید حفظ شود.
توابع مثلثاتی مرکب
مشتق sin(u) برابر cos(u)u' و مشتق cos(u) برابر -sin(u)u' است. علامت منفی کسینوس و مشتق زاویه داخلی را جدا کنترل کن. برای tan(u) نیز u' در sec²(u) ضرب میشود.
مثال و تست کوتاه
برای f(x)=sin(x²-1)، مشتق f'(x)=2x cos(x²-1) است. پاسخ cos(x²-1) بهتنهایی ناقص است، چون مشتق عبارت داخلی x²-1 یعنی 2x فراموش شده است.
چکلیست حل تست
- تابع بیرونی و داخلی را نامگذاری کن.
- عبارت داخلی را هنگام مشتق بیرونی دستنخورده نگه دار.
- در پایان حتماً در مشتق تابع داخلی ضرب کن.