حل معادله درجه دوم با کامل کردن مربع؛ از تبدیل تا پاسخ نهایی

پاسخ کوتاه

حل معادله درجه دوم با کامل کردن مربع یعنی تبدیل عبارت درجه دوم به شکلی مانند (x-a)²=b و سپس استفاده از ریشه‌گیری. این روش وقتی ضرایب ساده‌اند، ساختار معادله را روشن می‌کند و نشان می‌دهد چرا ممکن است دو جواب، یک جواب یا هیچ جواب حقیقی داشته باشیم.

پاسخ مستقیم: حل معادله درجه دوم با کامل کردن مربع

برای معادله x²+bx+c=0، ابتدا عدد ثابت را به طرف دیگر می‌بریم، سپس نصف ضریب x را به توان دو می‌رسانیم و همان مقدار را به دو طرف اضافه می‌کنیم. در نتیجه سمت چپ به مربع کامل تبدیل می‌شود. مثال: x²+6x+5=0 را به x²+6x=-5 تبدیل می‌کنیم. نصف ۶ برابر ۳ و مربع آن ۹ است؛ پس x²+6x+9=4، یعنی (x+3)²=4. بنابراین x+3=2 یا x+3=-2 و پاسخ‌ها x=-1 و x=-5 هستند.

ساختن مربع کامل مرحله‌به‌مرحله

در عبارت x²+bx، مقدار b/2 را پیدا کن و مربع آن را اضافه کن. چون این مقدار به سمت چپ افزوده شده، باید همان را به سمت راست نیز بیفزایی تا تساوی حفظ شود. اگر ضریب x² برابر یک نباشد، ابتدا همه جمله‌ها را بر ضریب x² تقسیم کن. برای نمونه، 2x²+8x-10=0 پس از تقسیم بر ۲ به x²+4x-5=0 تبدیل می‌شود؛ سپس روش اصلی را اجرا می‌کنیم.

وقتی ضریب جمله درجه دوم یک نیست

معادله 3x²+12x+9=0 را در نظر بگیر. تقسیم همه جمله‌ها بر ۳، x²+4x+3=0 می‌دهد. پس x²+4x=-3. نصف ضریب x برابر ۲ است و مربع آن ۴؛ بنابراین x²+4x+4=1 و (x+2)²=1. از اینجا x+2=1 یا x+2=-1، پس x=-1 یا x=-3.

ریشه‌گیری و بررسی تعداد جواب‌ها

اگر به رابطه (x-a)²=d برسیم، برای d مثبت دو جواب حقیقی داریم: x-a=±√d. اگر d صفر باشد فقط یک جواب x=a به دست می‌آید. اگر d منفی باشد، در مجموعه اعداد حقیقی جوابی وجود ندارد، چون مربع یک عدد حقیقی منفی نمی‌شود. این بررسی از نوشتن جواب‌های نادرست جلوگیری می‌کند.

مثال محاسباتی با ضریب و عدد اعشاری

معادله 2x²-4x-3=0 را بر ۲ تقسیم می‌کنیم: x²-2x-3/2=0، پس x²-2x=3/2. نصف ضریب x برابر منفی ۱ و مربع آن ۱ است. بنابراین x²-2x+1=5/2 و (x-1)²=5/2. پس x=1±√(5/2) یا به شکل دقیق‌تر x=1±√10/2. در صورت نیاز می‌توان مقدار تقریبی را جداگانه حساب کرد، اما فرم رادیکالی دقیق‌تر است.

خطاهای رایج و چک‌لیست کنترل

مهم‌ترین خطا، اضافه‌کردن عدد به یک طرف و فراموش‌کردن همان عدد در طرف دیگر است. خطای دوم، اشتباه در علامت نصف ضریب x است؛ این مقدار باید با علامت خودش نصف شود اما مربع آن همیشه نامنفی است. خطای سوم، فراموش‌کردن علامت ± هنگام ریشه‌گیری است. برای کنترل، هر جواب را در معادله اولیه جای‌گذاری کن و ببین دو طرف برابر می‌شوند.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

مراحل ثابت این روش چنین است: ضریب x² را یک کن، جمله ثابت را جابه‌جا کن، مربع نصف ضریب x را به هر دو طرف بیفزا، سمت چپ را به مربع کامل تبدیل کن، ریشه‌گیری کن و جواب‌ها را در معادله اصلی بررسی کن. این ترتیب برای کاهش خطای علامتی بسیار مفید است.

تمرین‌های خودسنجی با پاسخ کامل

تمرین ۱: معادله x²-8x+7=0 را با کامل کردن مربع حل کنید. پاسخ: x²-8x=-7. نصف ضریب x برابر -4 و مربع آن 16 است؛ پس x²-8x+16=9 و (x-4)²=9. بنابراین x-4=3 یا x-4=-3، پس x=7 یا x=1. تمرین ۲: معادله x²+2x+5=0 چند جواب حقیقی دارد؟ پاسخ: x²+2x=-5. با افزودن مربع نصف ضریب x، یعنی ۱، داریم (x+1)²=-4. چون مربع عدد حقیقی منفی نمی‌شود، این معادله هیچ جواب حقیقی ندارد.

تمرین خودسنجی با پاسخ