تشخیص پیوستگی تابع از روی نمودار؛ بررسی پرش و حفره

پاسخ کوتاه

تشخیص پیوستگی تابع از روی نمودار با سه پرسش ساده انجام می‌شود: آیا مقدار تابع در نقطه تعریف شده است؟ آیا حد چپ و راست برابرند؟ و آیا این حد با مقدار تابع یکی است؟ اگر هر سه پاسخ مثبت باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است.

ایده اصلی پیوستگی

برای بررسی پیوستگی تابع f در x=a، ابتدا باید f(a) وجود داشته باشد. سپس رفتار نمودار هنگام نزدیک‌شدن x از چپ و راست به a را بررسی می‌کنیم. اگر هر دو مسیر به یک ارتفاع برسند و همان ارتفاع برابر f(a) باشد، نمودار در آن نقطه گسستگی ندارد. پیوستگی یعنی بتوانیم نمودار را در آن ناحیه بدون برداشتن قلم دنبال کنیم؛ البته این تعبیر شهودی باید با سه شرط بالا کنترل شود.

تشخیص پیوستگی تابع از روی نمودار

محور x را پیدا کن و نقطه موردنظر را دقیق علامت بزن. سپس از سمت چپ و راست به آن نزدیک شو. نقطه توپر معمولاً مقدار تابع را نشان می‌دهد، اما به‌تنهایی کافی نیست. ممکن است نقطه توپر در ارتفاعی جدا از مسیر اصلی نمودار باشد؛ در این حالت مقدار تابع وجود دارد، ولی حد با آن برابر نیست و تابع ناپیوسته است. برعکس، نقطه توخالی در مسیر نمودار نشان می‌دهد مقدار تابع در آن نقطه تعریف نشده یا باید از ضابطه دیگری به دست آید.

سه نوع گسستگی دیداری

در گسستگی قابل رفع، دو طرف نمودار به یک ارتفاع نزدیک می‌شوند، اما در آن x یک حفره دیده می‌شود یا نقطه توپر در جای دیگری قرار گرفته است. در گسستگی پرشی، حد چپ و حد راست برابر نیستند؛ دو شاخه نمودار به دو ارتفاع متفاوت می‌رسند. در گسستگی بی‌نهایت، نمودار هنگام نزدیک‌شدن به نقطه به بالا یا پایین بی‌نهایت می‌رود و معمولاً خط عمودی نقش مجانب دارد. نام نوع گسستگی را فقط پس از مقایسه رفتار دو طرف انتخاب کن.

مثال محاسباتی و دیداری

فرض کن نمودار تابع در x=2 از سمت چپ به عدد 3 و از سمت راست نیز به عدد 3 نزدیک می‌شود، اما نقطه (2,3) توخالی است و نقطه توپر تابع در (2,5) قرار دارد. در اینجا حد دوطرفه برابر 3 است، ولی f(2)=5؛ پس تابع در x=2 پیوسته نیست و گسستگی آن قابل رفع است. اگر نقطه توپر را از (2,5) به (2,3) منتقل کنیم، تابع در همان نقطه پیوسته می‌شود، زیرا مقدار تابع با حد برابر خواهد شد.

چک‌لیست حل سؤال

۱) محل x=a را روی محور افقی پیدا کن. ۲) مقدار تابع را از نقطه توپر بخوان؛ اگر نقطه توپر وجود ندارد، احتمال تعریف‌نشدن را در نظر بگیر. ۳) مسیر نمودار را از چپ تا a دنبال کن و حد چپ را بخوان. ۴) همین کار را از راست انجام بده. ۵) سه مقدار f(a)، حد چپ و حد راست را مقایسه کن. اگر یکی از دو حد وجود نداشته باشد یا دو حد متفاوت باشند، پیوستگی برقرار نیست. در نمودارهای چندبخشی، محل اتصال قطعه‌ها مهم‌ترین نقطه بررسی است.

ارتباط با دامنه و تابع چندبخشی

پیوستگی با دامنه یکی نیست. ممکن است نقطه‌ای در دامنه باشد، اما نمودار در آن پرش داشته باشد؛ همچنین ممکن است دو طرف نمودار به یک مقدار نزدیک شوند ولی خود نقطه در دامنه نباشد. در تابع چندبخشی، مقدارهای دو ضابطه را در مرز مشترک جداگانه حساب کن. سپس حد چپ، حد راست و مقدار تعریف‌شده را مقایسه کن. این روش از جایگذاری عجولانه و نادیده‌گرفتن نقطه‌های باز جلوگیری می‌کند.

جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

پیوستگی در یک نقطه به هماهنگی سه چیز وابسته است: مقدار تابع، حد چپ و حد راست. نقطه توپر فقط مقدار تابع را نشان می‌دهد و نقطه توخالی فقط یک هشدار دیداری است؛ نتیجه نهایی از مقایسه مسیرهای نمودار به دست می‌آید. تمرین ۱: نمودار تابع در x=1 از هر دو طرف به 4 نزدیک می‌شود و f(1)=4 است. آیا تابع در x=1 پیوسته است؟ پاسخ: بله. حد چپ و راست هر دو 4 هستند و مقدار تابع نیز 4 است؛ بنابراین هر سه شرط پیوستگی برقرار است. تمرین ۲: حد چپ تابع در x=3 برابر 2، حد راست برابر 5 و f(3)=2 است. آیا تابع پیوسته است؟ پاسخ: خیر. چون حد چپ و راست برابر نیستند، حد دوطرفه وجود ندارد. برابر بودن f(3) با حد چپ این مشکل را برطرف نمی‌کند و گسستگی پرشی داریم.

تمرین خودسنجی با پاسخ