تعیین پارامتر پیوستگی؛ برابری حدهای چپ و راست

پاسخ کوتاه

در سؤال‌های تعیین پارامتر، قرار نیست نمودار را حدس بزنیم. کافی است سه عدد را در نقطه مرزی مقایسه کنیم: حد چپ، حد راست و مقدار تابع. اگر هر سه موجود و برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است و معادله لازم برای یافتن پارامتر به دست می‌آید.

سه شرط پیوستگی در یک نقطه

تابع f در x=a پیوسته است اگر f(a) تعریف شده باشد، حد f(x) هنگام نزدیک‌شدن x به a وجود داشته باشد و این حد با f(a) برابر شود. وجود حد دوطرفه نیز یعنی حد چپ و راست هر دو وجود داشته و برابر باشند.

خواندن ضابطه درست

برای حد چپ باید ضابطه مربوط به x<a و برای حد راست ضابطه مربوط به x>a را به کار برد. مقدار f(a) از شاخه‌ای می‌آید که علامت مساوی را دارد. استفاده از یک شاخه برای هر سه محاسبه، رایج‌ترین خطای این تیپ است.

ساخت معادله پارامتر

پس از محاسبه دو حد یک‌طرفه، آن‌ها را مساوی می‌گذاریم. اگر مقدار تابع نیز پارامتر داشته باشد، برابری سوم را اضافه می‌کنیم. ممکن است از برابری حدها یک مقدار و از برابری با f(a) شرط دیگری حاصل شود؛ پاسخ باید هر دو را هم‌زمان ارضا کند.

مثال حل‌شده

فرض کن f(x)=kx+1 برای x<2 و f(x)=x²-k برای x≥2 باشد. حد چپ در 2 برابر 2k+1 و حد راست و مقدار تابع برابر 4-k است. از 2k+1=4-k داریم 3k=3 و در نتیجه k=1؛ پس هر سه مقدار 3 هستند.

ناپیوستگی رفع‌شدنی

اگر حد چپ و راست برابر باشند اما مقدار تابع متفاوت یا تعریف‌نشده باشد، ناپیوستگی رفع‌شدنی داریم. با تعریف دوباره مقدار تابع برابر حد می‌توان پیوستگی ساخت. ولی اگر دو حد یک‌طرفه برابر نباشند، تغییر تنها یک نقطه نمی‌تواند پرش را برطرف کند.

دام تستی و کنترل نهایی

بعد از یافتن پارامتر، آن را در هر دو ضابطه جایگذاری کن و سه مقدار را جداگانه بنویس. اگر مخرجی وجود دارد، ممنوع‌نبودن نقطه را نیز بررسی کن. گاهی معادله جبری پارامتری می‌دهد که یکی از ضابطه‌ها را در همسایگی نقطه نامعتبر می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ