مکان هندسی در دستگاه مختصات؛ تبدیل شرط به معادله
آموزش تبدیل شرط فاصلهای به معادله مکان هندسی، عمودمنصف، نیمساز و تشخیص ناحیه در تست کنکور.
پاسخ کوتاه
مکان هندسی مجموعه همه نقاطی است که یک شرط مشخص را دارند. در دستگاه مختصات، نقطه متغیر P(x,y) را وارد شرط میکنیم و با فرمول فاصله یا فاصله از خط، معادلهای میسازیم که شکل نهایی را آشکار میکند.
نقطه متغیر و شرط
نقطه متغیر را P(x,y) بگیر و شرط مسئله را دقیقاً با x و y بنویس. سپس معادله را ساده کن، اما مراقب مجذورکردن دو طرف باش؛ مجذور ممکن است حالت اضافه بسازد و در پایان باید با شرط اصلی تطبیق داده شود.
فاصله ثابت از نقطه
مجموعه نقاطی که فاصله ثابت r از نقطه A(a,b) دارند، دایرهای با مرکز A و شعاع r میسازند. شرط PA=r پس از مجذورکردن به (x-a)²+(y-b)²=r² تبدیل میشود. اگر فاصله کمتر باشد، ناحیه داخل دایره به دست میآید.
فاصله برابر از دو نقطه
مکان نقاطی که از A و B فاصله برابر دارند، عمودمنصف پارهخط AB است. در مختصات، PA²=PB² بنویس؛ جملههای x² و y² حذف میشوند و یک معادله خطی باقی میماند. استفاده از مربع فاصله، رادیکالهای غیرضروری را حذف میکند.
فاصله از دو خط
نقاط با فاصله برابر از دو خط متقاطع روی دو نیمساز زاویهها قرار دارند. برای خط ax+by+c=0 فاصله نقطه برابر |ax+by+c|/√(a²+b²) است. وجود قدرمطلق باعث دو حالت میشود و معمولاً دو نیمساز تولید میکند.
مثال و تست کوتاه
برای نقاط A(0,0) و B(4,0)، شرط PA=PB را مجذور میکنیم: x²+y²=(x-4)²+y². پس 8x=16 و x=2 به دست میآید؛ این خط عمودی همان عمودمنصف پارهخط AB است و همه نقاطش از دو سر فاصله برابر دارند.
چکلیست حل تست
- شرط را با نقطه متغیر P(x,y) بنویس.
- برای برابری فاصلهها از مربع فاصله استفاده کن.
- قدرمطلق فاصله از خط معمولاً دو حالت میسازد.