نمایش قطبی و فرمول دموآور؛ توان و ریشه مختلط
آموزش اندازه و آرگومان عدد مختلط، ضرب در نمایش قطبی، فرمول دموآور و یافتن ریشههای nام.
پاسخ کوتاه
نمایش جبری برای جمع مناسب است، اما ضرب، تقسیم، توان و ریشه اعداد مختلط در نمایش قطبی سادهتر میشوند. هر عدد ناصفر با اندازه r و زاویه θ به صورت r(cosθ+i sinθ) نوشته میشود.
اندازه و آرگومان
برای z=a+bi، اندازه r=√(a²+b²) است. زاویه θ باید با توجه به ربع نقطه (a,b) انتخاب شود؛ استفاده مستقیم از arctan(b/a) بدون اصلاح ربع میتواند زاویهای با علامت نادرست بدهد.
ضرب و تقسیم قطبی
در ضرب دو عدد مختلط، اندازهها در هم ضرب و زاویهها جمع میشوند. در تقسیم، اندازهها تقسیم و زاویهها کم میشوند. زاویهها با افزودن مضربهای 2π همان عدد مختلط را نمایش میدهند.
فرمول دموآور
برای عدد صحیح n داریم [r(cosθ+i sinθ)]^n=r^n[cos(nθ)+i sin(nθ)]. این رابطه توانهای بزرگ را بدون بسط جبری محاسبه میکند. برای توان منفی، عدد باید ناصفر باشد.
ریشههای nام
ریشههای nامِ r(cosθ+i sinθ) اندازه r^(1/n) و زاویههای (θ+2kπ)/n برای k=0 تا n-1 دارند. این ریشهها روی دایرهای با فاصله زاویهای برابر 2π/n پخش میشوند.
مثال و تست کوتاه
عدد 1+i اندازه √2 و زاویه π/4 دارد. با دموآور، (1+i)^4=(√2)^4[cosπ+i sinπ]=4(-1)=-4. این نتیجه با ضرب جبری نیز تأیید میشود، اما روش قطبی کوتاهتر است.
چکلیست حل تست
- ربع زاویه را از علامت قسمت حقیقی و موهومی تعیین کن.
- در ضرب زاویهها جمع و در تقسیم کم میشوند.
- ریشه nام دقیقاً n زاویه متفاوت دارد.