خواص انتگرال معین؛ تغییر کران، جمع بازه و تقارن
آموزش خواص انتگرال معین، جابهجایی کرانها، شکستن بازه و استفاده از زوج و فرد بودن تابع.
پاسخ کوتاه
بسیاری از تستهای انتگرال معین بدون یافتن تابع اولیه حل میشوند. شناخت اثر جابهجایی کرانها، جمع بازههای مجاور و تقارن تابع میتواند یک محاسبه طولانی را به چند خط کوتاه تبدیل کند.
جابهجایی کرانها
با عوضکردن جای کران بالا و پایین، علامت انتگرال تغییر میکند: انتگرال از b تا a برابر منفی انتگرال از a تا b است. اگر دو کران برابر باشند، مقدار انتگرال صفر خواهد بود.
جمع بازههای مجاور
برای هر نقطه میانی c، انتگرال از a تا b برابر مجموع انتگرالهای a تا c و c تا b است. نقطه c لازم نیست داخل بازه باشد؛ رابطه جهتدار انتگرال همچنان برقرار میماند.
ضریب و جمع توابع
انتگرال عملگری خطی است؛ ضریب ثابت از انتگرال خارج میشود و انتگرال جمع دو تابع برابر جمع انتگرالهای آنهاست. این خاصیت اجازه میدهد بخش معلوم را از بخش مجهول جدا کنیم.
تقارن زوج و فرد
اگر f زوج باشد، انتگرال از -a تا a دو برابر انتگرال از صفر تا a است. اگر f فرد باشد، انتگرال روی بازه متقارن صفر میشود. پیش از استفاده، زوج یا فرد بودن کل تابع را کنترل کن.
مثال و تست کوتاه
اگر انتگرال f از 0 تا 2 برابر 5 و از 2 تا 7 برابر -1 باشد، انتگرال از 0 تا 7 برابر 4 است. همچنین انتگرال از 7 تا 0 برابر -4 خواهد بود.
چکلیست حل تست
- جابهجایی کرانها علامت را عوض میکند.
- بازه را در نقطه مناسب به دو قسمت بشکن.
- تقارن فقط روی بازه متقارن قابل استفاده مستقیم است.