نرخ تغییر لحظه‌ای؛ تبدیل متن مسئله به مشتق

پاسخ کوتاه

مشتق فقط شیب یک نمودار نیست؛ نرخ تغییر یک کمیت نسبت به کمیت دیگر است. در تست‌های متنی ابتدا باید مشخص کنیم چه چیزی تغییر می‌کند و نسبت به چه متغیری. سپس نرخ متوسط را با خارج‌قسمت تغییرات و نرخ لحظه‌ای را با مشتق در نقطه می‌سازیم.

نرخ تغییر متوسط

اگر y=f(x) باشد، نرخ تغییر متوسط y روی بازه [a,b] برابر [f(b)-f(a)]/(b-a) است. این عدد شیب خط واصل دو نقطه نمودار است و رفتار کل بازه را خلاصه می‌کند؛ بنابراین لزوماً با سرعت یا شیب در تک‌تک نقاط برابر نیست.

نرخ تغییر لحظه‌ای

نرخ لحظه‌ای در x=a حد نرخ‌های متوسط روی بازه‌های کوچک‌شونده است و با f′(a) نمایش داده می‌شود. از نظر هندسی شیب مماس و در حرکت، اگر s(t) مکان باشد، سرعت لحظه‌ای v(t)=s′(t) است.

انتخاب واحد و علامت

واحد مشتق از تقسیم واحد خروجی بر واحد ورودی ساخته می‌شود؛ برای مثال متر بر ثانیه. علامت مثبت یعنی کمیت در آن لحظه افزایش و علامت منفی یعنی کاهش دارد. صفرشدن نرخ فقط سکون لحظه‌ای را نشان می‌دهد و به‌تنهایی بیشینه یا کمینه را ثابت نمی‌کند.

مثال حرکت

مکان جسمی s(t)=t³-6t²+9t متر است. سرعت v(t)=3t²-12t+9 می‌شود و در t=1 برابر صفر است. برای جهت حرکت در اطراف این زمان باید علامت v را بررسی کنیم؛ صرف صفرشدن سرعت برای نتیجه‌گیری درباره جهت کافی نیست.

مسئله رشد و هزینه

اگر C(x) هزینه تولید x واحد باشد، C′(x) هزینه نهایی و تقریبیِ تولید یک واحد اضافه در نزدیکی x است. عبارت C′(100)=25 یعنی نزدیک تولید 100 واحد، افزایش کوچک یک‌واحدی حدود 25 واحد پول هزینه اضافه ایجاد می‌کند؛ این تفسیر تقریبی است.

دام ترجمه متن

کلمات «در بازه» معمولاً نرخ متوسط و کلمات «در لحظه» یا «وقتی x=a» نرخ لحظه‌ای می‌خواهند. اگر کمیت نسبت به زمان داده نشده باشد، نباید خودکار مشتق زمانی بگیریم. متغیر مخرج نرخ را از متن سؤال پیدا کن و واحد پاسخ را در پایان بسنج.

تمرین خودسنجی با پاسخ