بهینهسازی با مشتق در کنکور؛ ساخت تابع هدف و یافتن اکسترمم
روش گامبهگام حل مسائل بیشینه و کمینه کنکور؛ تعریف متغیر، محدودیت، مشتق و کنترل جواب.
پاسخ کوتاه
سختترین بخش مسئله بهینهسازی معمولاً مشتقگیری نیست؛ باید متن سؤال را به یک تابع تکمتغیره تبدیل کنیم. متغیر، محدودیت و بازه مجاز را پیش از محاسبه بنویس تا نقطه بحرانی نامعتبر وارد پاسخ نشود.
انتخاب متغیر و تابع هدف
کمیتی را که باید بیشینه یا کمینه شود مشخص کن؛ این کمیت تابع هدف است. یکی از اندازهها را x بگیر و با استفاده از شرط مسئله، بقیه اندازهها را برحسب x بنویس. در پایان تابع هدف باید فقط یک متغیر داشته باشد.
دامنه واقعی مسئله
شرطهای هندسی یا فیزیکی، بازه x را محدود میکنند. طول و مساحت منفی نیستند و مخرج نباید صفر شود. این دامنه را کنار تابع هدف نگه دار؛ پاسخ مشتق فقط وقتی معتبر است که داخل بازه مجاز باشد.
نقاط بحرانی و دو سر بازه
مشتق تابع هدف را صفر کن و نقاط تعریفنشدن مشتق را نیز بررسی کن. در بازه بسته، مقدار تابع در نقاط بحرانی و دو سر بازه باید مقایسه شود. صرف f'(x)=0 بودن، بیشینه یا کمینه مطلق را ثابت نمیکند.
مثال حلشده
محیط مستطیل 20 است؛ پس اگر ضلعها x و y باشند، x+y=10 و y=10-x. مساحت A=x(10-x) است. از A'=10-2x=0، مقدار x=5 و y=5 به دست میآید؛ چون سهمی رو به پایین است، مربع بیشترین مساحت را دارد.
تست کوتاه
اگر مجموع دو عدد مثبت 12 باشد، حاصلضرب آنها در x=6 بیشینه میشود. تابع P=x(12-x) است و P'=12-2x. پاسخ نهایی فقط x نیست؛ هر دو عدد 6 و بیشینه حاصلضرب 36 است.
چکلیست حل تست
- تابع هدف را تکمتغیره کن.
- بازه مجاز را پیش از مشتقگیری بنویس.
- برای اکسترمم مطلق، نقاط بحرانی و مرزها را مقایسه کن.