تشخیص ریشه مضاعف معادله درجه دوم؛ شرط دلتا صفر و کاربرد آن

پاسخ کوتاه

برای تشخیص ریشه مضاعف معادله درجه دوم کافی است دلتا را صفر قرار دهید؛ زیرا در این حالت دو ریشه برابر می‌شوند و سهمی فقط یک‌بار محور x را قطع یا لمس می‌کند. این روش برای یافتن پارامتر، بررسی تعداد جواب و تحلیل نمودار بسیار سریع و قابل اتکاست.

## تشخیص ریشه مضاعف معادله درجه دوم

معادله درجه دوم به شکل ax²+bx+c=0 نوشته می‌شود و باید a≠0 باشد. مقدار دلتا از رابطه Δ=b²−4ac به دست می‌آید. اگر Δ>0 باشد دو ریشه حقیقی متمایز داریم، اگر Δ=0 باشد یک ریشه حقیقی مضاعف داریم و اگر Δ<0 باشد ریشه حقیقی وجود ندارد. بنابراین ریشه مضاعف دقیقاً زمانی رخ می‌دهد که b²−4ac=0 باشد.

## ارتباط دلتا با نمودار سهمی

نمودار y=ax²+bx+c یک سهمی است. ریشه‌های معادله همان نقاط برخورد سهمی با محور x هستند. وقتی دلتا صفر است، سهمی فقط در یک نقطه با محور x تماس دارد؛ این نقطه همان رأس سهمی است. اگر a مثبت باشد سهمی رو به بالا باز می‌شود و رأس آن کمینه صفر دارد. اگر a منفی باشد سهمی رو به پایین باز می‌شود و رأس آن بیشینه صفر دارد.

## پیدا کردن پارامتر مجهول

در سؤال‌های پارامتری، ابتدا ضرایب a، b و c را از روی معادله مشخص کن و سپس دلتا را بنویس. شرط ریشه مضاعف یعنی Δ=0 و معمولاً یک معادله ساده برای پارامتر می‌سازد. برای نمونه، در x²−(k+2)x+9=0 داریم Δ=(k+2)²−36. با صفر قرار دادن دلتا، (k+2)²=36 و در نتیجه k+2=6 یا k+2=−6؛ پس k=4 یا k=−8. هر دو مقدار باید در صورت سؤال و شرایط احتمالی آن بررسی شوند.

## به‌دست‌آوردن خود ریشه

وقتی دلتا صفر است، دو فرمول ریشه به یک مقدار تبدیل می‌شوند و می‌توان از رابطه x=−b/(2a) استفاده کرد. در مثال x²−6x+9=0، a=1 و b=−6 است؛ بنابراین ریشه مضاعف برابر −(−6)/(2×1)=3 خواهد بود. تجزیه معادله نیز همین نتیجه را نشان می‌دهد: x²−6x+9=(x−3)². توجه کن که ریشه مضاعف به معنی دو جواب متفاوت نیست؛ یک مقدار ریشه است که با توان دو ظاهر شده است.

## مثال ترکیبی با شرط هندسی

فرض کن سهمی y=x²−2mx+m+3 فقط یک نقطه مشترک با محور x داشته باشد. چون تماس با محور x یعنی معادله x²−2mx+m+3=0 ریشه مضاعف دارد، دلتا را صفر می‌کنیم: Δ=(−2m)²−4(m+3)=4m²−4m−12. پس 4(m²−m−3)=0 و m²−m−3=0. با فرمول درجه دوم، m=(1±√13)/2 به دست می‌آید. در چنین مسئله‌ای لازم است هر دو مقدار را نگه داری، مگر اینکه شرط دیگری یکی از آن‌ها را حذف کند.

## چک‌لیست جلوگیری از خطا

ابتدا معادله را به یک طرف مساوی صفر منتقل کن. سپس علامت b را دقیق از ضریب x بخوان؛ در عبارت −(k+2)x، مقدار b برابر −(k+2) است. بعد دلتا را بدون حذف پرانتز محاسبه کن. اگر سؤال از «یک ریشه» یا «تماس با محور» سخن گفت، Δ=0 را امتحان کن. در پایان، پارامترهای به‌دست‌آمده را در معادله اصلی جایگذاری کن و مطمئن شو ضریب x² صفر نشده است.

## جمع‌بندی؛ یک شرط، چند کاربرد

ریشه مضاعف در معادله ax²+bx+c=0 با شرط Δ=b²−4ac=0 تشخیص داده می‌شود. این شرط هم تعداد جواب را مشخص می‌کند، هم تماس سهمی با محور x را توضیح می‌دهد و هم برای یافتن پارامتر بسیار کاربردی است. پس از یافتن پارامتر، ریشه را از −b/(2a) حساب کن و اگر مسئله شرط اضافی دارد، آن را جداگانه کنترل کن. تفاوت مهم این است که ریشه مضاعف یک مقدار حقیقی است، نه دو جواب جداگانه.

تمرین خودسنجی با پاسخ