معادله بیضی؛ کانون، رأس و خروج از مرکز در تست
آموزش فرم استاندارد بیضی، محور بزرگ و کوچک، رأسها، کانونها و خروج از مرکز همراه مثال کنکوری.
پاسخ کوتاه
بیضی مجموعه نقاطی است که مجموع فاصله آنها از دو کانون ثابت میماند. در تستها معمولاً باید از روی مخرجهای معادله، جهت محور بزرگ را تشخیص دهیم و سپس رأسها، کانونها یا خروج از مرکز را بدون رسم دقیق پیدا کنیم.
فرم استاندارد افقی
برای بیضی با مرکز مبدأ و محور بزرگ افقی، معادله x²/a²+y²/b²=1 است که a>b>0. رأسهای اصلی (±a,0)، رأسهای فرعی (0,±b) و کانونها (±c,0) هستند. رابطه بنیادی c²=a²-b² است.
فرم استاندارد عمودی
اگر مخرج بزرگتر زیر y² باشد، محور بزرگ عمودی است. در x²/b²+y²/a²=1، رأسهای اصلی (0,±a) و کانونها (0,±c) قرار دارند. بزرگترین مخرج همیشه a² را تعیین میکند، نه ترتیب نوشتن جملهها.
انتقال مرکز
در بیضی انتقالیافته، عبارتهای x-h و y-k جای x و y را میگیرند و مرکز (h,k) میشود. همه رأسها و کانونها نیز به همین اندازه منتقل میشوند. علامت داخل پرانتز مانند دایره برعکس مختصات مرکز خوانده میشود.
خروج از مرکز
خروج از مرکز بیضی e=c/a است و همیشه بین صفر و یک قرار دارد. هرچه e به صفر نزدیکتر باشد بیضی شبیه دایره و هرچه به یک نزدیکتر باشد کشیدهتر است. اگر a=b شود، c=0 و شکل به دایره تبدیل میشود.
مثال و تست کوتاه
در بیضی x²/25+y²/9=1 داریم a=5 و b=3، پس c=√(25-9)=4 است. رأسهای اصلی (±5,0)، کانونها (±4,0) و خروج از مرکز 4/5 خواهد بود. چون مخرج بزرگتر زیر x² است، محور بزرگ افقی است.
چکلیست حل تست
- بزرگترین مخرج مربع نیممحور بزرگ است.
- برای کانون از c²=a²-b² استفاده کن.
- خروج از مرکز بیضی باید بین صفر و یک باشد.