ریاضی کنکوریهمه مقالههاپیدا کردن عرض مستطیل از محیط و مساحت؛ روش معادله‌ای با مثال
در این درس یاد می‌گیرید چگونه با تبدیل محیط و مساحت مستطیل به یک معادله درجه دوم، عرض و طول را به‌درستی به دست آورید و جواب نامعتبر را حذف کنید.
پاسخ کوتاه
برای پیدا کردن عرض مستطیل از محیط و مساحت، ابتدا عرض را x می‌گیریم، طول را از رابطه محیط به دست می‌آوریم و سپس آن را در فرمول مساحت جای‌گذاری می‌کنیم. در پایان، فقط ریشه‌ای پذیرفتنی است که مثبت باشد و از طول بزرگ‌تر نباشد.
مدل‌سازی مسئله با یک مجهول
فرض کنید عرض مستطیل x و طول آن y باشد. اگر محیط P داده شده باشد، از رابطه ۲(x+y)=P نتیجه می‌گیریم x+y=P÷۲ و بنابراین y=P÷۲−x است. حال اگر مساحت مستطیل A باشد، رابطه xy=A را می‌نویسیم. با جای‌گذاری طول، معادله x(P÷۲−x)=A به دست می‌آید. این تبدیل، متن مسئله را به یک معادله روشن تبدیل می‌کند و از حدس‌زدن بی‌دلیل جلوگیری می‌کند.
پیدا کردن عرض مستطیل از محیط و مساحت
مثلاً محیط مستطیلی ۲۸ سانتی‌متر و مساحت آن ۴۸ سانتی‌متر مربع است. اگر عرض را x بگیریم، طول برابر است با ۱۴−x. پس x(۱۴−x)=۴۸ و با مرتب‌سازی داریم x²−۱۴x+۴۸=۰. تجزیه این عبارت چنین است: (x−۶)(x−۸)=۰. بنابراین x=۶ یا x=۸. هر دو عدد مثبت‌اند، اما چون عرض را معمولاً ضلع کوچک‌تر می‌گیریم، عرض ۶ و طول ۸ سانتی‌متر انتخاب می‌شود. اگر مسئله فقط دو ضلع را بخواهد، هر دو جفت ۶ و ۸ یک مستطیل یکسان را توصیف می‌کنند.
کنترل ریشه‌ها و حذف جواب نامعتبر
هر ریشه‌ای که از معادله به دست می‌آید الزاماً جواب هندسی نیست. طول و عرض باید مثبت باشند؛ همچنین اگر در صورت سؤال عرض ضلع کوتاه‌تر معرفی شده باشد، باید x≤y برقرار باشد. در مثال قبل، هر دو مقدار ۶ و ۸ مثبت‌اند و با جابه‌جایی آن‌ها همان مستطیل ساخته می‌شود. برای کنترل نهایی، جمع دو ضلع را با نصف محیط و حاصل‌ضرب آن‌ها را با مساحت مقایسه کنید. اگر یکی از این دو کنترل درست نباشد، خطای محاسباتی یا انتخاب ریشه رخ داده است.
وقتی معادله درجه دوم ساده‌تر حل می‌شود
گاهی می‌توان بدون فرمول کلی، از رابطه‌های شناخته‌شده استفاده کرد. در معادله x²−14x+48=0، دو عددی لازم داریم که حاصل‌ضربشان ۴۸ و مجموعشان ۱۴ باشد؛ این دو عدد ۶ و ۸ هستند. اگر تجزیه آسان نبود، از فرمول x=(−b±√(b²−4ac))÷(2a) استفاده کنید. مقدار مميز باید نامنفی باشد؛ در غیر این صورت، مستطیلی با آن محیط و مساحت وجود ندارد. پس از یافتن ریشه‌ها، معنا و واحدهای آن‌ها را نیز بررسی کنید.
چک‌لیست حل تست
۱) واحدهای محیط و مساحت را هماهنگ کنید. ۲) نصف محیط را بنویسید. ۳) یکی از ضلع‌ها را x بگیرید. ۴) ضلع دیگر را از رابطه مجموع دو ضلع به دست آورید. ۵) حاصل‌ضرب دو ضلع را برابر مساحت قرار دهید. ۶) معادله را حل کنید. ۷) مثبت بودن، واحد و ترتیب طول و عرض را کنترل کنید. اشتباه رایج این است که محیط را مستقیماً برابر x+y بگیریم؛ در حالی که محیط دو برابر مجموع طول و عرض است.
جمع‌بندی: کنترل سریع پاسخ
در این نوع مسئله، نصف محیط برابر مجموع طول و عرض است و مساحت برابر حاصل‌ضرب آن‌ها. بنابراین با یک مجهول، معادله‌ای درجه دوم می‌سازیم و سپس ریشه‌ها را از نظر مثبت بودن و سازگاری هندسی می‌سنجیم. برای کنترل ذهنی نیز می‌توانید دو ضلع نهایی را جمع و ضرب کنید: جمع باید نصف محیط و ضرب باید مساحت باشد. این کنترل کوتاه بسیاری از خطاهای علامت و محاسبه را آشکار می‌کند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
محیط مستطیلی ۳۴ سانتی‌متر و مساحت آن ۶۰ سانتی‌متر مربع است. طول و عرض را بیابید.
نصف محیط ۱۷ است؛ پس اگر عرض x باشد، طول ۱۷−x خواهد بود. داریم x(۱۷−x)=۶۰، بنابراین x²−۱۷x+۶۰=۰ و (x−۵)(x−۱۲)=۰. دو ضلع ۵ و ۱۲ سانتی‌متر هستند؛ چون ۵ ضلع کوچک‌تر است، عرض ۵ و طول ۱۲ سانتی‌متر است. کنترل: ۲(۵+۱۲)=۳۴ و ۵×۱۲=۶۰.
محیط مستطیلی ۲۰ سانتی‌متر و مساحت آن ۲۴ سانتی‌متر مربع است. آیا چنین مستطیلی وجود دارد؟
نصف محیط ۱۰ است. اگر عرض x باشد، طول ۱۰−x و معادله x(۱۰−x)=۲۴ است؛ یعنی x²−۱۰x+۲۴=۰. تجزیه می‌کنیم: (x−۴)(x−۶)=۰. پس دو ضلع ۴ و ۶ هستند و مستطیل وجود دارد. کنترل: ۲(۴+۶)=۲۰ و ۴×۶=۲۴.
محیط مستطیلی ۱۸ سانتی‌متر و مساحت آن ۳۰ سانتی‌متر مربع است. وضعیت را بررسی کنید.
نصف محیط ۹ است. بیشترین حاصل‌ضرب دو عدد مثبت با مجموع ثابت ۹، زمانی رخ می‌دهد که هر دو ۴٫۵ باشند و برابر ۲۰٫۲۵ شود. چون ۳۰ از این مقدار بیشتر است، چنین مستطیلی وجود ندارد. در روش معادله‌ای نیز x(۹−x)=۳۰ به معادله x²−۹x+۳۰=۰ می‌رسد که مميز آن ۸۱−۱۲۰، یعنی منفی ۳۹ است؛ پس ریشه حقیقی نداریم.
چک‌لیست حل تست
- محیط و مساحت را با واحدهای سازگار وارد معادله کنید.
- در صورت معرفی عرض به‌عنوان ضلع کوتاه‌تر، شرط عرض کمتر یا مساوی طول را بررسی کنید.
- پس از حل، جمع و حاصل‌ضرب دو ضلع را دوباره کنترل کنید.
- اگر مميز منفی شد، داده‌های مسئله با وجود چنین مستطیلی سازگار نیستند.