معادله هذلولی؛ رأس، کانون و مجانبها در تست
آموزش فرم استاندارد هذلولی افقی و عمودی، یافتن رأس و کانون و نوشتن معادله مجانبها.
پاسخ کوتاه
هذلولی مجموعه نقاطی است که قدرمطلق تفاضل فاصله آنها از دو کانون ثابت میماند. در تستها، علامت مثبت معادله جهت بازشدن شاخهها را نشان میدهد و رابطه میان a، b و c رأسها، کانونها و مجانبها را به هم وصل میکند.
هذلولی افقی
در معادله x²/a²-y²/b²=1، جمله مثبت مربوط به x است؛ پس شاخهها به چپ و راست باز میشوند. رأسها (±a,0) و کانونها (±c,0) هستند. برخلاف بیضی، رابطه کانونی هذلولی c²=a²+b² است و c از a بزرگتر میشود.
هذلولی عمودی
در y²/a²-x²/b²=1 جمله مثبت مربوط به y است و شاخهها رو به بالا و پاییناند. رأسها (0,±a) و کانونها (0,±c) قرار دارند. برای تشخیص جهت، به بزرگی مخرجها نگاه نکن؛ فقط متغیری را پیدا کن که جملهاش مثبت است.
مرکز انتقالیافته
اگر مرکز (h,k) باشد، x و y به x-h و y-k تبدیل میشوند. برای نمونه (x-2)²/9-(y+1)²/4=1 مرکز (2,-1) و محور حقیقی افقی دارد. مختصات رأس و کانون با افزودن h و k به حالت مرکزی به دست میآیند.
مجانبها
مجانبهای هذلولی افقی مرکزی y=±(b/a)x و برای هذلولی عمودی y=±(a/b)x هستند. در حالت انتقالیافته باید y-k و x-h را به کار برد. مستطیل کمکی با نیمضلعهای a و b شیب مجانبها را سریع نشان میدهد.
مثال و تست کوتاه
برای x²/16-y²/9=1 داریم a=4 و b=3، بنابراین c=5 است. رأسها (±4,0)، کانونها (±5,0) و مجانبها y=±3x/4 هستند. چون جمله x² مثبت است، هذلولی افقی و خروج از مرکز آن c/a=5/4 خواهد بود.
چکلیست حل تست
- متغیرِ جمله مثبت جهت شاخهها را تعیین میکند.
- در هذلولی c²=a²+b² است.
- برای مجانب حالت انتقالیافته، مرکز را وارد معادله کن.