تشخیص نوع دنباله از روی سه جمله متوالی؛ مقایسه اختلاف و نسبت

پاسخ کوتاه

تشخیص نوع دنباله از روی سه جمله متوالی با دو بررسی ساده انجام می‌شود: اختلاف جمله دوم و اول را با اختلاف جمله سوم و دوم مقایسه کنید، سپس نسبت جمله‌های متوالی را بسنجید. اگر اختلاف‌ها برابر باشند، دنباله حسابی است؛ اگر نسبت‌ها برابر باشند، دنباله هندسی است. اگر هیچ‌کدام برقرار نباشد، باید دنبال الگوی دیگری بگردید و بدون دلیل آن را حسابی یا هندسی ننامید.

قاعده تشخیص دنباله حسابی

در دنباله حسابی، تفاضل هر جمله با جمله قبل ثابت است. برای سه جمله a، b و c باید b-a با c-b برابر باشد. مثلاً در دنباله ۵، ۹، ۱۳ اختلاف‌ها هر دو ۴ هستند؛ بنابراین قدر نسبت در اینجا مطرح نیست و دنباله حسابی با اختلاف ثابت ۴ است. جمله عمومی چنین دنباله‌ای از رابطه a_n=a_1+(n-1)d به دست می‌آید.

قاعده تشخیص دنباله هندسی

در دنباله هندسی، نسبت هر جمله به جمله قبل ثابت می‌ماند؛ یعنی b/a باید با c/b برابر باشد، به شرط آنکه مخرج‌ها صفر نباشند. برای دنباله ۳، ۶، ۱۲، هر نسبت برابر ۲ است، پس دنباله هندسی با قدرنسبت ۲ داریم. جمله عمومی آن a_n=a_1r^(n-1) است.

تشخیص نوع دنباله از روی سه جمله متوالی

سه جمله را به ترتیب بنویسید و ابتدا اختلاف‌های متوالی را حساب کنید. اگر برابر نبودند، نسبت‌ها را بررسی کنید. برای نمونه در ۲، ۵، ۱۰ اختلاف‌ها ۳ و ۵ و نسبت‌ها ۵/۲ و ۲ هستند؛ پس این سه جمله به‌تنهایی دنباله حسابی یا هندسی را نشان نمی‌دهند. این نتیجه از حدس‌زدن الگو جلوگیری می‌کند.

مثال محاسباتی

فرض کنید سه جمله متوالی دنباله برابر ۴، x، ۱۶ باشند. اگر دنباله حسابی باشد، باید x-4=16-x باشد؛ بنابراین ۲x=۲۰ و x=۱۰. اگر دنباله هندسی باشد، x/4=16/x و در نتیجه x²=۶۴؛ پس x می‌تواند ۸ یا -۸ باشد، البته باید با نوع دنباله و علامت جمله‌ها سازگار بررسی شود. این مثال نشان می‌دهد نوع دنباله شرط متفاوتی برای مجهول می‌سازد.

نکته درباره جمله صفر و نسبت

در دنباله حسابی وجود جمله صفر مشکلی ایجاد نمی‌کند، چون اختلاف‌گیری همیشه ممکن است. اما برای تشخیص هندسی با نسبت، نباید بر صفر تقسیم کرد. اگر جمله قبلی صفر باشد، به‌جای نسبت باید از رابطه b=ar استفاده کنید و ببینید آیا یک مقدار ثابت r می‌تواند همه جمله‌ها را بسازد. همچنین دنباله‌ای مانند ۰، ۰، ۰ را می‌توان با تعریف رابطه بازگشتی جداگانه بررسی کرد، نه با تقسیم مستقیم.

چک‌لیست حل تست

۱) جمله‌ها را با ترتیب درست بنویسید. ۲) اختلاف‌های متوالی را حساب کنید. ۳) اگر اختلاف‌ها برابر نبودند، نسبت‌ها را بررسی کنید. ۴) صفر بودن مخرج را کنترل کنید. ۵) اگر هیچ شرطی برقرار نبود، برچسب حسابی یا هندسی نزنید. ۶) در سؤال مجهول، شرط مناسب را به معادله تبدیل کنید و جواب را در جمله‌های اصلی جایگذاری کنید.

جمع‌بندی؛ اختلاف یا نسبت را درست انتخاب کن

برای تشخیص دنباله، دنباله حسابی با اختلاف ثابت و دنباله هندسی با نسبت ثابت شناخته می‌شود. سه جمله متوالی برای آزمون اولیه کافی‌اند، اما همیشه باید صفر بودن مخرج و سازگاری جواب را بررسی کرد. بهترین روش این است که ابتدا اختلاف را بسنجید، سپس در صورت نیاز نسبت را بررسی کنید و تنها پس از برقرار بودن شرط، فرمول جمله عمومی را به کار ببرید.

تمرین خودسنجی با پاسخ کامل

تمرین ۱: مقدار x را بیابید تا ۷، x، ۱۹ سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند. پاسخ: اختلاف‌ها باید برابر باشند؛ x-7=19-x، پس ۲x=۲۶ و x=۱۳. بررسی: اختلاف‌ها ۶ و ۶ هستند. تمرین ۲: آیا ۲، ۶، ۱۸ سه جمله متوالی دنباله هندسی‌اند؟ پاسخ: نسبت‌ها ۶/۲=۳ و ۱۸/۶=۳ هستند؛ بنابراین بله، دنباله هندسی است و قدرنسبت آن ۳ است. تمرین ۳: نوع دنباله ۱، ۴، ۹ را مشخص کنید. پاسخ: اختلاف‌ها ۳ و ۵ و نسبت‌ها ۴ و ۹/۴ هستند؛ هیچ‌کدام ثابت نیستند، پس این سه جمله دنباله حسابی یا هندسی نیستند. ممکن است الگوی دیگری مانند مربع اعداد طبیعی در میان باشد.

تمرین خودسنجی با پاسخ