مشتق ضمنی؛ شیب مماس بدون حلکردن تابع
آموزش مشتقگیری ضمنی، نوشتن y'، استفاده از قاعده زنجیرهای و یافتن شیب مماس منحنی در تست.
پاسخ کوتاه
گاهی x و y در یک رابطه درهمآمیختهاند و جداکردن y دشوار یا چندشاخهای است. مشتق ضمنی اجازه میدهد دو طرف رابطه را نسبت به x مشتق بگیریم؛ هر بار که از عبارت شامل y مشتق میگیریم، عامل y' ظاهر میشود.
اصل مشتق ضمنی
y را تابعی از x در نظر بگیر، حتی اگر ضابطه آن نوشته نشده باشد. مشتق y نسبت به x برابر y' و مشتق y² برابر 2yy' است. عامل y' نتیجه قاعده زنجیرهای است و فراموشکردن آن مهمترین دام محاسباتی است.
جمعکردن جملههای y'
پس از مشتقگیری، همه جملههای دارای y' را یک طرف ببر و y' را فاکتور بگیر. سپس بر ضریب آن تقسیم کن. جواب معمولاً تابعی از هر دو x و y است و برای شیب در نقطه، مختصات همان نقطه جایگذاری میشود.
حاصلضرب x و y
برای مشتق xy باید قاعده حاصلضرب به کار رود: (xy)'=y+xy'. اگر توان یا تابع دیگری از y داشته باشیم، قاعده زنجیرهای نیز اضافه میشود. برخورد با y مانند ثابت، رابطه شیب را نادرست میکند.
شیب مماس و قائم
مقدار y' شیب خط مماس است. اگر مخرج فرمول y' صفر و صورت ناصفر باشد، مماس قائم داریم و شیب معمول تعریف نمیشود. برای مماس افقی، صورت صفر و مخرج ناصفر است؛ خود نقطه باید روی منحنی قرار داشته باشد.
مثال و تست کوتاه
برای دایره x²+y²=25 مشتق میگیریم: 2x+2yy'=0، پس y'=-x/y. در نقطه (3,4)، شیب مماس -3/4 است. معادله مماس را میتوان به صورت y-4=(-3/4)(x-3) نوشت.
چکلیست حل تست
- در مشتق هر عبارت yدار عامل y' را وارد کن.
- جملههای y' را جمع و سپس فاکتور بگیر.
- مختصات نقطه باید در رابطه اصلی صدق کند.