مشتق تابع وارون؛ شیب معکوس و محاسبه بدون ضابطه
آموزش فرمول مشتق وارون، شرط ناصفربودن مشتق و یافتن شیب تابع وارون بدون استخراج ضابطه کامل.
پاسخ کوتاه
برای محاسبه مشتق تابع وارون لازم نیست همیشه ضابطه وارون را پیدا کنیم. اگر y=f(x)، تابع در اطراف نقطه یکبهیک و f'(x) ناصفر باشد، شیب نمودار وارون در نقطه جابهجاشده برابر معکوس شیب تابع اصلی است.
فرمول اصلی
اگر f(a)=b و f'(a)≠0 باشد، آنگاه (f⁻¹)'(b)=1/f'(a). ورودی مشتق وارون b است، اما مشتق تابع اصلی در a محاسبه میشود؛ جابهجایی این دو عدد دام پرتکرار گزینههاست.
دلیل هندسی
نمودار تابع و وارون نسبت به خط y=x متقارناند و نقطه (a,b) به (b,a) تبدیل میشود. در این بازتاب، شیب مماس از m به 1/m تغییر میکند؛ شیب صفر به مماس قائم در وارون مربوط میشود.
یافتن نقطه متناظر
برای محاسبه (f⁻¹)'(b)، ابتدا معادله f(a)=b را حل کن و a سازگار با شاخه یکبهیک را پیدا کن. سپس فقط f'(a) را حساب کن؛ حل کامل x=f⁻¹(y) معمولاً محاسبات بیشتری دارد.
شرط ناصفر بودن مشتق
اگر f'(a)=0 باشد، فرمول معکوس عددی تعریف نمیشود و وارون ممکن است در b مشتق متناهی نداشته باشد. وجود وارون کلی نیز به یکبهیکی تابع روی دامنه انتخابشده وابسته است.
مثال حلشده
اگر f(x)=x³+x باشد، برای محاسبه مشتق وارون در b=2 ابتدا f(1)=2 را مییابیم. چون f'(x)=3x²+1 و f'(1)=4، نتیجه (f⁻¹)'(2)=1/4 است، بدون آنکه ضابطه وارون حل شود.
ترکیب با پارامتر
اگر مقدار a صریح پیدا نشود، میتوان پاسخ را برحسب ریشه معادله f(a)=b نوشت یا از گزینهها استفاده کرد. همیشه دامنه، شاخه تابع و ناصفربودن مشتق را پیش از اعمال فرمول کنترل کن.
چکلیست حل تست
- ابتدا نقطه a با شرط f(a)=b را پیدا کن.
- مشتق وارون معکوس f'(a) است، نه f'(b).
- اگر مشتق اصلی صفر باشد، فرمول قابل استفاده نیست.