حد در بینهایت کنکور؛ مقایسه درجهها و مجانب افقی
آموزش حل حدهای بینهایت توابع گویا و رادیکالی، تشخیص رفتار غالب و مجانب افقی با مثال تستی.
پاسخ کوتاه
در حد بینهایت لازم نیست همه جملهها را با یک دقت دنبال کنیم؛ جملهای که سریعتر رشد میکند رفتار نهایی تابع را تعیین میکند. در توابع گویا مقایسه درجه صورت و مخرج و در عبارتهای رادیکالی خارجکردن بزرگترین توان، دو ابزار اصلیاند.
رفتار غالب چندجملهایها
وقتی x بسیار بزرگ میشود، جمله با بالاترین درجه بر بقیه غلبه میکند. برای کسرهای جبری صورت و مخرج را بر بزرگترین توان x موجود در مخرج تقسیم کن. اگر درجه صورت کمتر باشد حد صفر، اگر برابر باشد نسبت ضرایب پیشرو و اگر بیشتر باشد معمولاً حد نامتناهی یا بدون مقدار متناهی است.
علامت در مثبت و منفی بینهایت
توان زوج در دو سوی محور مثبت میماند، اما توان فرد علامت x را حفظ میکند. بنابراین نتیجه x→+∞ را بدون بررسی علامت برای x→-∞ تکرار نکن. پس از سادهکردن رفتار غالب، علامت ضریب و زوج یا فرد بودن توان باقیمانده را جدا بنویس.
عبارتهای رادیکالی
در رادیکال، بزرگترین توان مربع کامل را خارج کن. نکته مهم این است که √(x²)=|x|، نه همیشه x. برای x→-∞ مقدار |x| برابر -x است. در تفاضل دو رادیکال نزدیک، ضرب در مزدوج معمولاً ابهام بینهایت منهای بینهایت را رفع میکند.
مثال حلشده
برای lim (3x²-x+1)/(2x²+5) در بینهایت، صورت و مخرج را بر x² تقسیم میکنیم. جملههای دارای 1/x و 1/x² به صفر میروند و پاسخ 3/2 است. پس خط y=3/2 مجانب افقی تابع نیز هست.
تست کوتاه
حد (2x³+x)/(x²-1) برای x→+∞ متناهی نیست؛ رفتار غالب 2x است و به مثبت بینهایت میرود. برای x→-∞ همان عبارت به منفی بینهایت میرود. این تفاوت از فردبودن توان باقیمانده میآید.
چکلیست حل تست
- ابتدا درجه و ضریب جمله پیشرو را مشخص کن.
- در منفی بینهایت علامت توانهای فرد را کنترل کن.
- در رادیکال همیشه √(x²)=|x| را به کار ببر.