استقرای ریاضی؛ پایه، فرض و گام استقرا برای کنکور
آموزش ساختار اثبات با استقرای ریاضی و حل گزارههای مجموع و بخشپذیری با نمونه مرحلهبهمرحله.
پاسخ کوتاه
استقرا برای اثبات گزارهای درباره همه اعداد طبیعی به کار میرود. اثبات دو ستون دارد: درستی نقطه شروع و انتقال درستی از k به k+1. بررسی چند عدد هرگز جای گام استقرا را نمیگیرد.
گام پایه
کوچکترین مقدار مجاز n را در گزاره قرار بده و دو طرف را محاسبه کن. نقطه شروع همیشه یک نیست؛ اگر گزاره برای n≥2 تعریف شده، پایه باید n=2 باشد. بدون پایه، زنجیره استدلال جایی برای آغاز ندارد.
فرض استقرا
فرض میکنیم گزاره برای یک عدد طبیعی دلخواه k درست است. این فرض فقط همان k را پوشش میدهد و هنوز نتیجه برای همه اعداد نیست. رابطه فرضی را دقیق بنویس تا در مرحله بعد قابل استفاده باشد.
گام k به k+1
عبارت مربوط به k+1 را از عبارت k بساز و فرض استقرا را جایگذاری کن. سپس با سادهسازی به فرم مورد انتظار برای k+1 برس. نباید درستی گزاره k+1 را در میانه اثبات فرض کنی.
مثال مجموع
برای 1+2+...+n=n(n+1)/2، پایه n=1 درست است. اگر مجموع تا k برابر k(k+1)/2 باشد، با افزودن k+1 به (k+1)(k+2)/2 میرسیم که همان فرمول برای n=k+1 است.
تست بخشپذیری
برای گزارههای بخشپذیری، عبارت k+1 را به ترکیبی از عبارت فرض و یک مضرب آشکار مقسومعلیه تبدیل کن. اگر هر دو بخش مضرب عدد موردنظر باشند، مجموع آنها نیز بخشپذیر است.
چکلیست حل تست
- پایه را با کوچکترین n مجاز انتخاب کن.
- فرض استقرا فقط برای k دلخواه است.
- در گام بعد از فرض، فرم k+1 را کامل بساز.