قضیه مقدار میانگین؛ شرطها، تفسیر هندسی و حل تست
آموزش قضیه مقدار میانگین و رول، بررسی شرطهای پیوستگی و مشتقپذیری و یافتن نقطه با شیب مشخص.
پاسخ کوتاه
قضیه مقدار میانگین بین شیب خط واصل دو سر نمودار و شیب مماس در نقطهای میانی ارتباط برقرار میکند. کاربرد درست آن به دو شرط وابسته است: تابع روی بازه بسته پیوسته و درون بازه مشتقپذیر باشد؛ سپس دستکم یک نقطه میانی با شیب مورد نظر تضمین میشود.
بیان قضیه
اگر f روی [a,b] پیوسته و روی (a,b) مشتقپذیر باشد، عددی مانند c درون بازه وجود دارد که f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a). قضیه وجود نقطه را تضمین میکند، اما لزوماً یکتایی آن را نمیگوید.
تفسیر هندسی
کسر سمت راست شیب خط قاطع میان نقاط (a,f(a)) و (b,f(b)) است. قضیه میگوید جایی بین دو سر بازه، مماسی موازی این قاطع وجود دارد؛ تصویر هندسی کمک میکند جهت شیب و بازه جستوجوی c اشتباه نشود.
قضیه رول
اگر علاوه بر شرطهای اصلی f(a)=f(b) باشد، شیب قاطع صفر و در نتیجه f'(c)=0 است. رول حالت ویژه مقدار میانگین است و وجود یک مماس افقی را تضمین میکند، نه اینکه تابع در تمام بازه ثابت باشد.
کنترل شرطها
پیش از مشتقگیری، پیوستگی در دو سر و مشتقپذیری داخل بازه را بررسی کن. وجود گوشه، شکست، مجانب یا نقطه تعریفنشده میتواند استفاده از قضیه را نامعتبر کند؛ حتی اگر معادله نهایی ظاهراً یک c داخل بازه بدهد.
مثال حلشده
برای f(x)=x² روی [1,3] شیب قاطع (9-1)/(3-1)=4 است. چون f'(x)=2x، معادله 2c=4 مقدار c=2 را میدهد که داخل بازه باز (1,3) قرار دارد و هر دو شرط قضیه نیز برقرارند.
راهبرد تستی
ابتدا شیب متوسط را محاسبه و بعد آن را با مشتق برابر کن. در گزینهها، نقطههای سر بازه پذیرفته نیستند و c باید داخل بازه باز باشد. اگر چند جواب داخلی به دست آمد، همه میتوانند پاسخ قضیه باشند.
چکلیست حل تست
- پیوستگی روی بازه بسته و مشتقپذیری داخل آن لازم است.
- نقطه c باید داخل بازه باز باشد.
- قضیه وجود را تضمین میکند، نه یکتایی را.