پیدا کردن جمله میانی دنباله حسابی؛ روش سریع با میانگین دو سر

پاسخ کوتاه

پیدا کردن جمله میانی دنباله حسابی زمانی ساده است که تعداد جمله‌ها فرد باشد؛ در این حالت جمله وسط برابر میانگین حسابی جمله اول و جمله آخر است. اگر دنباله ۷ جمله داشته باشد، جمله چهارم دقیقاً وسط قرار می‌گیرد و از رابطه a4=(a1+a7)÷2 به دست می‌آید. اگر تعداد جمله‌ها زوج باشد، یک جمله یگانه در مرکز نداریم و باید دو جمله میانی را جداگانه پیدا کنیم.

پاسخ مستقیم: پیدا کردن جمله میانی دنباله حسابی

در هر دنباله حسابی، فاصله بین جمله‌های پیاپی ثابت است. بنابراین جمله‌هایی که به یک اندازه از دو سر دنباله فاصله دارند، مجموع یکسانی دارند. اگر تعداد جمله‌ها فرد و برابر 2k+1 باشد، جمله k+1ام جمله میانی است و رابطه آن چنین است: a_(k+1)=(a1+a_(2k+1))÷2. برای نمونه، در دنباله ۵، ۹، ۱۳، ۱۷، ۲۱، جمله میانی ۱۳ است و میانگین دو سر نیز (۵+۲۱)÷۲=۱۳ می‌شود.

تشخیص جایگاه جمله وسط

پیش از محاسبه باید تعداد جمله‌ها را بشماریم. اگر تعداد جمله‌ها n باشد و n فرد باشد، جایگاه جمله میانی برابر (n+1)÷2 است. در دنباله‌ای با ۹ جمله، جایگاه وسط پنجم است؛ در دنباله‌ای با ۱۱ جمله، جایگاه وسط ششم است. اشتباه رایج این است که نصف تعداد جمله‌ها را به‌عنوان شماره جمله بنویسیم، در حالی که شماره جایگاه باید یک واحد بیشتر از نصفِ n زوج باشد.

استفاده از میانگین دو جمله متقارن

در دنباله حسابی فقط لازم نیست دو سر دنباله را داشته باشیم. هر دو جمله متقارن نسبت به مرکز نیز برای یافتن جمله میانی کافی‌اند. مثلاً اگر جمله سوم ۱۴ و جمله هفتم ۳۰ باشد، جمله پنجم میانگین آن‌هاست: (۱۴+۳۰)÷۲=۲۲. دلیل این کار آن است که از جمله سوم تا پنجم دو گام و از پنجم تا هفتم نیز دو گام داریم؛ افزایش‌های برابر در دو طرف، مقدار مرکز را میانگین دو طرف می‌کند.

مثال محاسباتی با قدر نسبت

فرض کنید دنباله‌ای حسابی ۹ جمله دارد، جمله اول آن ۴ و قدر نسبت آن ۶ است. ابتدا شماره جمله میانی را پیدا می‌کنیم: (۹+۱)÷۲=۵. سپس جمله پنجم برابر است با a5=a1+4d؛ بنابراین a5=4+4×6=28. کنترل دوم با جمله آخر انجام می‌شود: a9=4+8×6=52 و میانگین دو سر برابر (۴+۵۲)÷۲=۲۸ است. این کنترل نشان می‌دهد هم جایگاه و هم محاسبه درست بوده است.

وقتی تعداد جمله‌ها زوج است

در دنباله‌ای با تعداد زوج، یک جمله دقیقاً در مرکز قرار نمی‌گیرد. برای ۸ جمله، دو جایگاه مرکزی چهارم و پنجم‌اند. اگر جمله اول ۳ و قدر نسبت ۵ باشد، جمله چهارم ۳+۳×۵=۱۸ و جمله پنجم ۳+۴×۵=۲۳ است. میانگین این دو جمله، یعنی ۲۰٫۵، مرکز عددی دنباله است؛ اما ۲۰٫۵ خودش جمله دنباله نیست. پس در پاسخ باید تفاوت «دو جمله میانی» و «مقدار مرکز» را روشن کنیم.

چک‌لیست حل سؤال

۱) تعداد جمله‌ها را مشخص کن. ۲) فرد یا زوج بودن آن را بررسی کن. ۳) در حالت فرد، جایگاه (n+1)÷2 را بنویس. ۴) اگر دو جمله متقارن یا دو سر دنباله داده شده‌اند، از میانگین استفاده کن. ۵) اگر جمله اول و قدر نسبت معلوم است، فرمول a_n=a1+(n−1)d را به کار ببر. ۶) جواب را با روش دوم کنترل کن و مطمئن شو شماره جمله با تعداد گام‌ها اشتباه نشده است.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

در دنباله حسابی با تعداد فرد، جمله وسط میانگین دو جمله متقارن یا دو سر دنباله است. در تعداد زوج، دو جمله میانی داریم و نباید میانگین آن‌ها را به‌عنوان یک جمله واقعی معرفی کنیم. تشخیص تعداد جمله‌ها و شمارش درست گام‌ها، مهم‌تر از محاسبه طولانی است. با کنترل متقابل میانگین و فرمول جمله عمومی، خطاهای محاسباتی سریع آشکار می‌شوند.

تمرین خودسنجی با پاسخ