مسائل مخلوط و نسبت در ریاضی؛ روش جدول و معادله

پاسخ کوتاه

برای حل مسائل مخلوط و نسبت در ریاضی، ابتدا مقدار هر جزء، نسبت یا درصد آن و مقدار نهایی را در یک جدول بنویسید؛ سپس یک مجهول انتخاب کنید و رابطه میان مقدارهای خالص را به معادله تبدیل کنید. نکته اصلی این است که نسبت را با جمع مقدارها اشتباه نگیریم: اگر دو ماده با نسبت ۲ به ۳ ترکیب شوند، سهم کل آن‌ها پنج قسمت است، نه دو یا سه قسمت. جدول درست، متن طولانی مسئله را به چند رابطه ساده تبدیل می‌کند.

## مسائل مخلوط و نسبت در ریاضی از کجا شروع می‌شوند؟

در این مسئله‌ها معمولاً دو یا چند مقدار با ویژگی متفاوت ترکیب می‌شوند؛ برای نمونه، دو محلول با درصد متفاوت یا دو ماده با نسبت مشخص. نخست مشخص کنید مجهول چیست: مقدار جزء اول، مقدار جزء دوم یا مقدار کل. اگر مجموع کل معلوم باشد، می‌توان مقدار جزء دوم را برحسب جزء اول نوشت. مثلاً اگر مقدار کل ۳۰ واحد و مقدار اول x باشد، مقدار دوم ۳۰-x خواهد بود.

## جدول سه‌ستونه بسازید

برای هر جزء سه ستون در نظر بگیرید: مقدار، نسبت یا درصد، و مقدار خالص. اگر درصد یک محلول p باشد، مقدار ماده خالص آن برابر مقدار محلول ضربدر p/100 است. در پایان، مقدارهای کل را جمع کنید و با مقدار خالص نهایی برابر بگذارید. این جدول از جابه‌جایی درصد و مقدار جلوگیری می‌کند و واحد هر عبارت را روشن نگه می‌دارد.

## تبدیل نسبت به سهم‌های مساوی

اگر نسبت دو مقدار a به b باشد، می‌توان آن‌ها را به شکل ak و bk نوشت. در این نمایش، k اندازه هر سهم است و مجموع دو مقدار برابر (a+b)k می‌شود. مثلاً در نسبت ۳ به ۵ و مجموع ۴۰، داریم ۸k=40، پس k=5 و دو مقدار ۱۵ و ۲۵ هستند. این روش زمانی مناسب است که فقط نسبت و مجموع داده شده باشد.

## وقتی درصد نهایی داده شده است

فرض کنید x لیتر محلول ۲۰ درصد را با ۱۰ لیتر محلول ۵۰ درصد مخلوط می‌کنیم و محلول نهایی ۳۰ درصد می‌خواهیم. مقدار ماده خالص پیش از ترکیب برابر 0.2x+0.5×10 است. مقدار کل x+10 و ماده خالص نهایی 0.3(x+10) خواهد بود؛ پس معادله چنین است: 0.2x+5=0.3x+3. با حل آن، 2=0.1x و x=20 به‌دست می‌آید. کنترل: ماده خالص اولیه ۴+۵=۹ و مقدار نهایی ۳۰ درصدِ ۳۰ لیتر نیز ۹ لیتر است.

## نسبت مقدارها را با درصد اشتباه نگیرید

نسبت ۱ به ۴ یعنی از هر پنج سهم، یک سهم مربوط به جزء اول است؛ بنابراین سهم اول ۲۰ درصد کل می‌شود، نه ۲۵ درصد. برای تبدیل نسبت a:b به درصد جزء اول، a را بر a+b تقسیم و در ۱۰۰ ضرب کنید. همچنین اگر درصدها برحسب جرم باشند، مقدارها نیز باید هم‌واحد باشند؛ نمی‌توان گرم را مستقیماً با لیتر جمع کرد مگر اینکه رابطه تبدیل مشخص باشد.

## کنترل جواب و خطاهای رایج

پس از حل، سه بررسی انجام دهید: مقدارها منفی نباشند، مجموع مقدارها با داده مسئله برابر باشد و درصد نهایی بین درصدهای اولیه قرار بگیرد؛ مگر آنکه مسئله شرایط دیگری داشته باشد. خطای رایج دیگر، استفاده از درصدها به شکل ۲۰ و ۵۰ به‌جای ۰٫۲ و ۰٫۵ در معادله است. اگر همه جمله‌ها را در ۱۰۰ ضرب کنید، می‌توانید از کسرهای اعشاری هم دور بمانید.

## جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

روش استاندارد این است: داده‌ها را جدول‌بندی کنید، مجهول را انتخاب کنید، مقدار خالص هر جزء را بنویسید، معادله کل را بسازید و پاسخ را از نظر واحد و بازه کنترل کنید. تمرین ۱: دو محلول ۱۰ درصد و ۴۰ درصد را ترکیب می‌کنیم تا ۲۰ لیتر محلول ۲۵ درصد بسازیم. از هرکدام چند لیتر لازم است؟ پاسخ کامل: اگر مقدار محلول ۱۰ درصد x باشد، محلول دوم ۲۰-x است. معادله ماده خالص برابر است با 0.1x+0.4(20-x)=0.25×20. بنابراین 0.1x+8-0.4x=5، پس 0.3x=3 و x=10. از هر محلول ۱۰ لیتر لازم است. تمرین ۲: دو عدد با نسبت ۲ به ۷ و مجموع ۳۶ دارند. آن‌ها را بیابید. پاسخ کامل: دو عدد را 2k و 7k می‌گیریم. از 9k=36، مقدار k=4 است؛ بنابراین عددها ۸ و ۲۸ هستند و نسبت و مجموع هر دو کنترل می‌شوند.

تمرین خودسنجی با پاسخ