رابطه نیوتن چندجمله‌ای؛ محاسبه توان‌های ریشه‌ها از روی ضرایب

پاسخ کوتاه

رابطه نیوتن چندجمله‌ای ابزاری منظم برای محاسبه مجموع توان‌های ریشه‌هاست؛ حتی زمانی که خود ریشه‌ها به‌سادگی به دست نمی‌آیند. ایده اصلی این است که ضرایب چندجمله‌ای، اطلاعاتی فشرده درباره جمع، حاصل‌ضرب و توان‌های متقارن ریشه‌ها در اختیار ما می‌گذارند.

صورت مسئله و نمادگذاری

فرض کنید چندجمله‌ای یکه به شکل P(x)=x^n-e_1x^{n-1}+e_2x^{n-2}-...+(-1)^ne_n باشد و ریشه‌های آن r_1 تا r_n باشند. مقدار e_k مجموع حاصل‌ضرب‌های kتایی ریشه‌هاست؛ برای نمونه e_1=r_1+...+r_n و e_2 مجموع حاصل‌ضرب‌های دوتایی است. همچنین p_m=r_1^m+...+r_n^m را تعریف می‌کنیم. هدف، پیدا کردن p_m از روی e_kهاست.

رابطه نیوتن چندجمله‌ای

برای m≤n داریم p_m-e_1p_{m-1}+e_2p_{m-2}-...+(-1)^{m-1}e_{m-1}p_1+(-1)^m m e_m=0. پس p_m را می‌توان مرحله‌به‌مرحله محاسبه کرد. برای m>n جمله پایانیِ شامل m e_m وجود ندارد و رابطه به صورت p_m-e_1p_{m-1}+e_2p_{m-2}-...+(-1)^n e_np_{m-n}=0 نوشته می‌شود.

استدلال رابطه

ریشه r هر کدام از معادله P(r)=0 پیروی می‌کند. اگر این معادله را در r^{m-n} ضرب کنیم و برای همه ریشه‌ها جمع بزنیم، جمله‌های حاصل به مجموع‌هایی مانند p_m، p_{m-1} و تا p_{m-n} تبدیل می‌شوند. برای توان‌های پایین‌تر، ضریب جمله ثابت هنگام جمع‌زدن برابر تعداد ریشه‌ها یعنی m ظاهر می‌شود؛ به همین دلیل در حالت m≤n جمله m e_m داریم. این استدلال نشان می‌دهد رابطه یک فرمول حفظی بی‌دلیل نیست، بلکه از خود معادله ریشه‌ها به دست می‌آید.

مثال محاسباتی

چندجمله‌ای P(x)=x^3-3x^2+2x-5 را در نظر بگیرید. در اینجا e_1=3، e_2=2 و e_3=5 است. ابتدا p_1=e_1=3. سپس p_2-e_1p_1+2e_2=0، بنابراین p_2=3×3-2×2=5. برای توان سوم داریم p_3-e_1p_2+e_2p_1-3e_3=0؛ پس p_3=3×5-2×3+3×5=24. بنابراین بدون حل مکعب، مجموع مکعب‌های ریشه‌ها برابر 24 است.

نکته‌های کنترل خطا

پیش از استفاده، چندجمله‌ای را یکه کنید؛ اگر ضریب جمله بالاترین توان یک نیست، ابتدا همه ضرایب را بر آن تقسیم کنید. علامت‌ها را از الگوی متناوب ضرایب e_k بخوانید، نه از حدس. همچنین p_1 همان جمع ریشه‌هاست، اما p_2 برابر مربع جمع ریشه‌ها نیست؛ در واقع p_2=(r_1+...+r_n)^2-2e_2 است. این تفاوت منشأ بسیاری از پاسخ‌های نادرست است.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

برای محاسبه مجموع توان‌های ریشه‌ها، چندجمله‌ای را به فرم یکه بنویس، e_kها را استخراج کن و p_1، سپس p_2 و توان‌های بعدی را به ترتیب بساز. در هر مرحله نتیجه را با رابطه علامت‌گذاری‌شده کنترل کن. تمرین ۱: اگر ریشه‌های x^3-4x^2+3x-7 برابر r_1,r_2,r_3 باشند، مقدار r_1^2+r_2^2+r_3^2 را بیابید. پاسخ: e_1=4 و e_2=3؛ بنابراین p_2=e_1p_1-2e_2=4×4-6=10. تمرین ۲: برای ریشه‌های x^2-5x+6، مقدار r_1^3+r_2^3 را محاسبه کنید. پاسخ: e_1=5 و e_2=6. پس p_1=5 و p_2=25-12=13. از رابطه درجه سوم، p_3=e_1p_2-e_2p_1=5×13-6×5=35. واقعاً ریشه‌ها 2 و 3 هستند و 2^3+3^3=35.

تمرین خودسنجی با پاسخ