مسائل درصد و تخفیف با معادله؛ از قیمت اولیه تا مبلغ نهایی

پاسخ کوتاه

در مسائل درصد و تخفیف با معادله، قیمت اولیه را مجهول می‌گیریم و هر تغییر را به‌صورت ضریبی از همان مقدار می‌نویسیم. اگر قیمت کالایی پس از ۲۰ درصد تخفیف ۴۸۰ هزار تومان باشد، قیمت اولیه x از رابطه ۰٫۸x=۴۸۰ به دست می‌آید؛ بنابراین x=۶۰۰ هزار تومان است. نکته اصلی این است که درصد همیشه نسبت به مقدارِ قبل از تغییر سنجیده می‌شود، نه لزوماً نسبت به مقدار نهایی.

ایده اصلی: درصد را به ضریب تبدیل کن

درصد p از یک مقدار برابر p/100 آن مقدار است. بنابراین افزایش p درصدی مقدار x برابر x(1+p/100) و کاهش p درصدی آن برابر x(1-p/100) خواهد بود. برای تخفیف ۳۰ درصدی، ضریب باقی‌مانده ۰٫۷ است؛ یعنی مشتری ۷۰ درصد قیمت اولیه را می‌پردازد. همین ضریب‌سازی، متن سؤال را به یک معادله ساده تبدیل می‌کند.

مسائل درصد و تخفیف با معادله چگونه نوشته می‌شوند؟

ابتدا مقدار پایه را مشخص کن. اگر قیمت اولیه مجهول باشد، آن را x بگیر. سپس تغییرها را به ترتیب روی مقدار قبلی اعمال کن. برای یک تخفیف ۱۵ درصدی و سپس ۱۰ درصدی، قیمت نهایی برابر ۰٫۸۵×۰٫۹۰×x است، نه ۰٫۷۵x؛ چون تخفیف دوم از قیمتِ پس از تخفیف اول محاسبه می‌شود. در پایان، مقدار نهایی داده‌شده را جای‌گذاری و معادله را حل کن.

مثال محاسباتی یک تخفیف

قیمت نهایی یک کیف پس از ۲۵ درصد تخفیف، ۹۰۰ هزار تومان است. قیمت اولیه را x می‌گیریم. پس از تخفیف، ۷۵ درصد قیمت باقی می‌ماند: ۰٫۷۵x=۹۰۰. با تقسیم دو طرف بر ۰٫۷۵ داریم x=۱۲۰۰؛ بنابراین قیمت اولیه یک میلیون و دویست هزار تومان بوده است. مقدار تخفیف نیز ۱۲۰۰−۹۰۰=۳۰۰ هزار تومان است. کنترل پاسخ نشان می‌دهد ۲۵ درصد ۱۲۰۰ برابر ۳۰۰ است.

افزایش و کاهش پیاپی

اگر مبلغی ابتدا ۲۰ درصد افزایش و سپس ۲۰ درصد کاهش یابد، به مقدار اولیه برنمی‌گردد. اگر مقدار اولیه x باشد، مقدار نهایی ۱٫۲×۰٫۸x=۰٫۹۶x است؛ یعنی چهار درصد کمتر از مقدار آغازین. اشتباه رایج این است که افزایش و کاهش برابر را خنثی فرض کنیم. آن‌ها چون روی دو پایه متفاوت اعمال می‌شوند، حاصل ضرب ضرایب باید بررسی شود.

مالیات، کارمزد و قیمت نهایی

هر هزینه‌ای که درصدی از مبلغ پایه باشد، مانند افزایش درصدی مدل می‌شود. اگر قیمت کالا x و کارمزد ۵ درصد باشد، مبلغ پرداختی ۱٫۰۵x است. اگر هم‌زمان تخفیف ۲۰ درصد و سپس مالیات ۱۰ درصد اعمال شود، مبلغ نهایی ۰٫۸×۱٫۱x=۰٫۸۸x خواهد بود. ترتیب عملیات را از متن بخوان؛ جابه‌جایی بعضی درصدها ممکن است حاصل یکسانی بدهد، اما پایه محاسبه باید روشن باشد.

چک‌لیست حل مسئله

۱) مجهول را روی مقدار اولیه یا مقدار خواسته‌شده تعریف کن. ۲) هر افزایش را با ضریب بزرگ‌تر از یک و هر کاهش را با ضریب کوچک‌تر از یک بنویس. ۳) تغییرها را به ترتیب متن در هم ضرب کن. ۴) واحد پول را در همه مراحل ثابت نگه دار. ۵) پس از حل، درصد تغییر را دوباره محاسبه کن تا علامت و پایه اشتباه نباشد. اگر تخفیف از قیمت اولیه خواسته شده، اختلاف قیمت اولیه و نهایی را بر قیمت اولیه تقسیم کن.

جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

در این نوع سؤال‌ها، درصد را به ضریب تبدیل می‌کنیم، مقدار پایه را درست تشخیص می‌دهیم و ضرایب پیاپی را روی هم اعمال می‌کنیم. پاسخ نهایی باید با متن و واحدها سازگار باشد. تمرین ۱: قیمت کالایی پس از ۳۰ درصد تخفیف، ۷۰۰ هزار تومان شده است. قیمت اولیه چقدر بوده؟ پاسخ: ۷۰ درصد قیمت اولیه برابر ۷۰۰ است؛ بنابراین ۰٫۷x=۷۰۰ و x=۱۰۰۰. قیمت اولیه یک میلیون تومان بوده است. تمرین ۲: مبلغی ابتدا ۱۰ درصد افزایش و سپس ۱۰ درصد کاهش یافته و مقدار نهایی ۹۹۰ هزار تومان شده است. مقدار اولیه را بیابید. پاسخ: ضریب نهایی ۱٫۱×۰٫۹=۰٫۹۹ است. پس ۰٫۹۹x=۹۹۰ و x=۱۰۰۰. مقدار اولیه یک میلیون تومان بوده است.

تمرین‌های بیشتر با پاسخ کامل

تمرین ۳: کالایی با قیمت اولیه x، پس از ۲۰ درصد تخفیف و سپس ۵ درصد هزینه خدمات، ۸۴۰ هزار تومان قیمت دارد. x را بیابید. پاسخ: مبلغ نهایی برابر ۰٫۸×۱٫۰۵x=۰٫۸۴x است. بنابراین ۰٫۸۴x=۸۴۰ و x=۱۰۰۰؛ قیمت اولیه یک میلیون تومان است. تمرین ۴: قیمت کالایی از ۶۰۰ هزار تومان به ۷۵۰ هزار تومان رسیده است. درصد افزایش چقدر است؟ پاسخ: افزایش برابر ۱۵۰ هزار تومان است. پایه، قیمت اولیه یعنی ۶۰۰ است؛ پس درصد افزایش ۱۵۰/۶۰۰=۰٫۲۵، یعنی ۲۵ درصد است.

تمرین خودسنجی با پاسخ