ریاضی کنکوریهمه مقالههامحاسبه باقیمانده تقسیم چندجمله‌ای بر عبارت درجه دو؛ روش تجزیه و جایگذاری
آموزش محاسبه باقیمانده تقسیم یک چندجمله‌ای بر مقسوم‌علیه درجه دو با هم‌نهشتی، ریشه‌ها و مثال‌های قابل کنترل.
پاسخ کوتاه
برای محاسبه باقیمانده تقسیم چندجمله‌ای بر عبارت درجه دو، لازم نیست تقسیم طولانی را کامل انجام دهید. چون درجه باقیمانده باید کمتر از دو باشد، آن را به شکل ax+b می‌نویسیم و با استفاده از رابطه مقسوم‌علیه، ضرایب a و b را پیدا می‌کنیم.
باقیمانده چه شکلی دارد؟
اگر P(x) را بر چندجمله‌ای درجه دوم Q(x) تقسیم کنیم، الگوریتم تقسیم می‌گوید P(x)=Q(x)S(x)+R(x). چون درجه R باید از درجه Q کمتر باشد، باقیمانده حداکثر درجه یک دارد؛ بنابراین R(x)=ax+b است. این نکته نخستین گام حل است و نباید باقیمانده را عدد ثابت فرض کرد، مگر اینکه مقسوم‌علیه درجه یک باشد.
محاسبه باقیمانده تقسیم چندجمله‌ای بر عبارت درجه دو
فرض کنید می‌خواهیم باقیمانده تقسیم P(x)=x³+2x²-x+4 بر Q(x)=x²-1 را بیابیم. چون x²-1=0، در محاسبه باقیمانده می‌توانیم از رابطه x²=1 استفاده کنیم. آنگاه x³=x و 2x²=2، پس P(x) باقیمانده‌ای برابر x+2 دارد. بنابراین R(x)=x+2 و نیازی به نوشتن خارج‌قسمت نیست.
روش هم‌نهشتی در عبارت‌های ساده
در مثال قبل، عبارت x²-1 مقسوم‌علیه بود؛ پس هر توان x² را با 1 جایگزین کردیم. اگر Q(x)=x²+3x+2 باشد، در محاسبه پیمانه‌ای داریم x²=-3x-2. برای چندجمله‌ای‌های بزرگ، هر توان بالاتر را با ضرب همین رابطه در توان‌های پایین‌تر کاهش دهید تا فقط جمله‌های درجه صفر و یک باقی بمانند. در پایان، ضریب x و عدد ثابت همان دو بخش باقی‌مانده‌اند.
روش استفاده از ریشه‌های مقسوم‌علیه
اگر Q(x)=(x-r)(x-s) و ریشه‌ها متمایز باشند، چون R(x)=ax+b است، دو مقدار R(r) و R(s) را از P(r) و P(s) به دست می‌آوریم. سپس دستگاه ax+b=P(r) و as+b=P(s) را حل می‌کنیم. برای نمونه، اگر P(1)=5 و P(2)=9 باشد، از a+b=5 و 2a+b=9 نتیجه می‌گیریم a=4 و b=1؛ پس باقیمانده 4x+1 است.
اگر مقسوم‌علیه ریشه تکراری داشته باشد
برای Q(x)=(x-r)² فقط دانستن P(r) کافی نیست، زیرا دو شرط لازم داریم: R(r)=P(r) و R'(r)=P'(r). اگر R(x)=ax+b باشد، از R'(x)=a استفاده می‌کنیم. برای مثال اگر P(1)=3 و P'(1)=7 باشد، a=7 و a+b=3، در نتیجه b=-4 و R(x)=7x-4 خواهد بود. این روش در سؤال‌هایی با توان دوم یک عامل بسیار کاربردی است.
چک‌لیست کنترل پاسخ
ابتدا درجه مقسوم‌علیه را بخوانید و درجه باقیمانده را یک واحد کمتر از آن در نظر بگیرید. سپس یا رابطه چندجمله‌ای مقسوم‌علیه را برای کاهش توان‌ها به کار ببرید، یا مقدار چندجمله‌ای را در ریشه‌های مقسوم‌علیه حساب کنید. در پایان، درجه R را بررسی کنید. اگر باقیمانده درجه‌ای برابر یا بزرگ‌تر از مقسوم‌علیه داشت، کاهش محاسبه کامل نشده است. همچنین باقیمانده را دوباره در رابطه P=QS+R یا با یک جایگذاری ساده کنترل کنید.
جمع‌بندی؛ باقیمانده را هوشمندانه پیدا کنیم
باقیمانده تقسیم بر عبارت درجه دو همیشه خطی یا ثابت است. در مقسوم‌علیه‌هایی مانند x²-1، جایگزین‌کردن x² با مقدار معادل سریع‌ترین راه است. اگر مقسوم‌علیه به دو عامل خطی متمایز تجزیه شود، دو جایگذاری و حل یک دستگاه کوچک کافی است؛ و برای عامل تکراری، مشتق شرط دوم را فراهم می‌کند. انتخاب روش به شکل مقسوم‌علیه بستگی دارد، اما کنترل نهایی با توجه به درجه باقیمانده همیشه ضروری است.
تمرین خودسنجی با پاسخ
باقیمانده تقسیم P(x)=x⁴+3x²+2 بر x²-1 چیست؟
چون x²=1، داریم x⁴=1 و 3x²=3؛ بنابراین P(x)=1+3+2=6. پس باقیمانده عدد ثابت 6 است.
باقیمانده تقسیم P(x)=2x³-x+5 بر (x-1)(x+2) را پیدا کنید.
باقیمانده را R(x)=ax+b می‌گیریم. چون P(1)=2-1+5=6، پس a+b=6. همچنین P(-2)=2(-8)-(-2)+5=-9، بنابراین -2a+b=-9. تفریق دو معادله می‌دهد 3a=15، پس a=5 و b=1. در نتیجه باقیمانده R(x)=5x+1 است. با جایگذاری x=1 مقدار 6 و با جایگذاری x=-2 مقدار -9 به دست می‌آید؛ پس پاسخ کنترل می‌شود.
چک‌لیست حل تست
- درجه باقیمانده باید از درجه مقسوم‌علیه کمتر باشد.
- برای مقسوم‌علیه درجه دوم، باقیمانده را ax+b بگیرید.
- در ریشه‌های متمایز از دو جایگذاری استفاده کنید.
- برای ریشه تکراری، مقدار مشتق را نیز بررسی کنید.
- پس از محاسبه، درجه و یک جایگذاری را برای کنترل پاسخ به کار ببرید.