قضیه باقیمانده و عامل در کنکور؛ حل سریع بدون تقسیم طولانی
آموزش قضیه باقیمانده، قضیه عامل و تعیین ضرایب مجهول چندجملهای همراه مثالهای تستی.
پاسخ کوتاه
اگر چندجملهای P(x) بر x-a تقسیم شود، باقیمانده فقط P(a) است. همین ایده ساده بسیاری از سؤالهای تقسیم، ریشه و ضرایب مجهول را بدون اجرای تقسیم طولانی حل میکند.
قضیه باقیمانده
در تقسیم P(x) بر x-a، باقیمانده P(a) است. علامت مهم است: برای مقسومعلیه x+2 باید a=-2 را جایگذاری کرد. چون باقیمانده تقسیم بر عبارت درجه یک عدد ثابت است، یک جایگذاری کافی خواهد بود.
قضیه عامل
عبارت x-a عامل P(x) است اگر و تنها اگر P(a)=0. بنابراین تشخیص بخشپذیری به آزمون یک مقدار تبدیل میشود. اگر چند عامل داده شده باشند، هرکدام یک شرط جدا برای ضرایب مجهول میسازد.
مقسومعلیه درجه بالاتر
اگر بر (x-a)(x-b) تقسیم کنیم، باقیمانده حداکثر درجه یک و به شکل R(x)=mx+n است. از P(a)=R(a) و P(b)=R(b) دو معادله برای m و n میگیریم؛ نیازی به تقسیم کامل نیست.
مثال حلشده
باقیمانده P(x)=x³-2x+5 بر x-2 برابر P(2)=8-4+5=9 است. اگر سؤال بپرسد چه عددی از ثابت کم کنیم تا x-2 عامل شود، باید مقدار ثابت را 9 واحد کاهش دهیم تا مقدار تابع در 2 صفر شود.
تست کوتاه
اگر x-1 و x+1 هر دو عامل P(x)=x³+ax²-x-a باشند، شرایط P(1)=0 و P(-1)=0 را بررسی میکنیم. در این مثال عبارت با گروهبندی به (x²-1)(x+a) تبدیل میشود و هر دو عامل برای هر a وجود دارند.
چکلیست حل تست
- برای x+a مقدار -a را جایگذاری کن.
- عامل بودن یعنی باقیمانده صفر است.
- در مقسومعلیه درجه دو، باقیمانده حداکثر خطی است.