روابط ریشههای چندجملهای؛ ویتا و ساخت معادله
آموزش مجموع و حاصلضرب ریشهها، روابط ویتا، عبارتهای متقارن و ساخت چندجملهای از روی ریشهها.
پاسخ کوتاه
روابط ویتا اجازه میدهند بدون حل کامل معادله، مجموع و حاصلضرب ریشهها و بسیاری از عبارتهای متقارن را پیدا کنیم. نکته اصلی توجه به ضریب جمله پیشرو و علامت ضرایب است؛ بیشترین خطاها دقیقاً از همین دو مورد میآیند.
ویتای درجه دوم
اگر ax²+bx+c=0 ریشههای α و β داشته باشد، α+β=-b/a و αβ=c/a است. تقسیمنکردن بر ضریب a خطای رایج است. این روابط با حقیقی یا مختلط بودن ریشهها برقرارند، هرچند در سؤالهای حقیقی باید دلتا را نیز در نظر گرفت.
عبارتهای متقارن
برای محاسبه α²+β² از رابطه (α+β)²-2αβ استفاده کن. همچنین 1/α+1/β برابر (α+β)/(αβ) است، به شرط صفرنبودن حاصلضرب. هدف این است که عبارت خواستهشده را فقط با مجموع و حاصلضرب ریشهها بازنویسی کنیم.
ساخت معادله از ریشهها
اگر ریشهها α و β باشند، سادهترین معادله تکین x²-(α+β)x+αβ=0 است. ضرب همه ضرایب در یک عدد ناصفر ریشهها را تغییر نمیدهد. برای ریشههای تبدیلشده، ابتدا مجموع و حاصلضرب جدید را از روابط قبلی بساز.
ریشههای چندجملهای درجه سه
برای ax³+bx²+cx+d با ریشههای α، β و γ، مجموع ریشهها -b/a، مجموع حاصلضربهای دوتایی c/a و حاصلضرب سه ریشه -d/a است. علامتها یکیدرمیان تغییر میکنند و باید ترتیب ضرایب کامل باشد.
مثال و تست کوتاه
در معادله 2x²-5x+1=0 داریم α+β=5/2 و αβ=1/2. بنابراین α²+β² برابر 25/4-1 یعنی 21/4 است. این نتیجه بدون محاسبه رادیکالیِ خود ریشهها به دست میآید و برای تست سریعتر است.
چکلیست حل تست
- در ویتا همه ضرایب را بر ضریب پیشرو بسنج.
- عبارت متقارن را با مجموع و حاصلضرب بازنویسی کن.
- در درجه سه به علامتهای یکیدرمیان دقت کن.