تجزیه به عوامل اول؛ تعداد و مجموع مقسومعلیهها
آموزش نمایش استاندارد عدد، فرمول تعداد و مجموع مقسومعلیههای مثبت و تشخیص مربع کامل در تست.
پاسخ کوتاه
تجزیه یکتای عدد به توانهای اعداد اول، بسیاری از سؤالهای بخشپذیری را به شمارش انتخاب توانها تبدیل میکند. برای هر عامل اول میتوان توان مقسومعلیه را از صفر تا توان موجود انتخاب کرد و انتخابها مستقلاند.
نمایش استاندارد
هر عدد صحیح مثبت بزرگتر از یک به شکل n=p1^a1 p2^a2 ... pk^ak نوشته میشود که pها اول و توانها مثبتاند. ترتیب عوامل مهم نیست و این تجزیه یکتا است. برای رسیدن به آن، تقسیم بر اعداد اول کوچک را ادامه بده.
تعداد مقسومعلیهها
در هر مقسومعلیه مثبت، توان pi میتواند یکی از مقادیر صفر تا ai باشد؛ یعنی ai+1 انتخاب. پس تعداد مقسومعلیههای مثبت τ(n)=∏(ai+1) است. توان صفر اجازه میدهد یک عامل اول در مقسومعلیه ظاهر نشود.
مجموع مقسومعلیهها
مجموع مقسومعلیههای مثبت برابر حاصلضرب مجموعهای هندسی است: σ(n)=∏(1+pi+pi²+...+pi^ai). این فرمول از پخش حاصلضرب ساخته میشود و هر انتخاب توان دقیقاً یک مقسومعلیه تولید میکند.
مربع کامل
عدد زمانی مربع کامل است که همه توانهای تجزیه اول زوج باشند. فقط در این حالت تعداد مقسومعلیههای مثبت فرد است، زیرا مقسومعلیهها معمولاً جفت n/d دارند و تنها √n با خودش جفت میشود.
مثال و تست کوتاه
عدد 360 برابر 2³×3²×5 است. تعداد مقسومعلیههای مثبت آن (3+1)(2+1)(1+1)=24 است. چون توان 2 و 5 فرد است، 360 مربع کامل نیست و تعداد مقسومعلیههایش نیز زوج به دست میآید.
چکلیست حل تست
- در شمارش توان صفر را هم یک انتخاب حساب کن.
- تعداد مقسومعلیهها حاصلضرب یکبهعلاوه توانهاست.
- مربع کامل همه توانهای اولِ زوج دارد.