حل معادله درجه دوم با فرمول دلتا؛ از تشخیص ریشه تا کنترل پاسخ

پاسخ کوتاه

برای حل معادله درجه دوم با فرمول دلتا، ابتدا معادله را به شکل ax²+bx+c=0 بنویسید، سپس مقدار Δ=b²−4ac را حساب کنید و از x=(−b±√Δ)/(2a) استفاده کنید. علامت دلتا پیش از هر محاسبه به شما می‌گوید معادله چند ریشه حقیقی دارد.

حل معادله درجه دوم با فرمول دلتا

معادله درجه دوم باید به صورت ax²+bx+c=0 نوشته شود و در آن a نباید صفر باشد. در این قالب، a ضریب x²، b ضریب x و c جمله ثابت است. سپس دلتا را از رابطه Δ=b²−4ac به دست می‌آوریم. اگر Δ مثبت باشد دو ریشه حقیقی متفاوت داریم، اگر Δ صفر باشد دو ریشه با هم برابرند و اگر Δ منفی باشد در مجموعه اعداد حقیقی ریشه‌ای وجود ندارد. نکته مهم این است که پیش از جایگذاری، همه جمله‌ها را به یک طرف منتقل و علامت هر ضریب را دقیق ثبت کنید.

محاسبه دلتا بدون خطای علامت

بیشترین خطا در این روش هنگام محاسبه b²−4ac رخ می‌دهد؛ مخصوصاً وقتی b یا c منفی است. ابتدا b² را جداگانه بنویسید، سپس حاصل‌ضرب 4ac را با علامت خودش محاسبه کنید و در پایان تفریق را انجام دهید. مثلاً برای 2x²−3x−2=0 داریم a=2، b=−3 و c=−2. بنابراین Δ=(−3)²−4(2)(−2)=9+16=25. چون دلتا مثبت است، دو ریشه حقیقی خواهیم داشت.

جایگذاری در فرمول ریشه‌ها

پس از محاسبه دلتا، ریشه‌ها از رابطه x=(−b±√Δ)/(2a) به دست می‌آیند. در مثال قبل، x=(3±5)/4 است؛ بنابراین ریشه اول x=2 و ریشه دوم x=−1/2 خواهد بود. علامت ± را به دو محاسبه جدا تبدیل کنید. نوشتن یک عبارت فشرده و انجام ذهنی هر دو حالت، احتمال جاافتادن یکی از ریشه‌ها را زیاد می‌کند. در پایان، بهتر است ریشه‌ها را در معادله اصلی جای‌گذاری کنید.

تشخیص تعداد ریشه‌ها از روی دلتا

دلتا پیش از آنکه مقدار ریشه‌ها را بدهد، شکل پاسخ را مشخص می‌کند. برای معادله x²−6x+9=0، Δ=36−36=0 است؛ پس فقط یک ریشه متمایز داریم و آن x=3 است. در واقع سهمی متناظر با معادله، محور x را لمس می‌کند. برای معادله x²+2x+5=0، Δ=4−20=−16 است. چون دلتا منفی است، این معادله در اعداد حقیقی جواب ندارد. بنابراین لازم نیست برای آن ریشه‌ای با فرمول بالا بنویسید.

رابطه دلتا با نمودار و ریشه‌ها

اگر معادله ax²+bx+c=0 را به نمودار y=ax²+bx+c تعبیر کنیم، ریشه‌ها نقاط برخورد سهمی با محور x هستند. دلتا مثبت یعنی دو برخورد، دلتا صفر یعنی یک تماس و دلتا منفی یعنی هیچ برخوردی با محور x وجود ندارد. علامت a فقط جهت بازشدن سهمی را تعیین می‌کند و تعداد برخوردها را به تنهایی مشخص نمی‌کند. برای نمونه، سهمی رو به بالا می‌تواند دو ریشه، یک ریشه یا هیچ ریشه حقیقی داشته باشد؛ مقدار دلتا این تفاوت را روشن می‌کند.

چک‌لیست حل سریع تست

۱) همه جمله‌ها را به یک طرف ببرید. ۲) ضرایب a، b و c را با علامت بنویسید. ۳) دلتا را حساب کنید. ۴) بر اساس علامت دلتا تعداد ریشه‌ها را مشخص کنید. ۵) در صورت نیاز، فرمول ریشه‌ها را اجرا کنید. ۶) حاصل را با جمع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها کنترل کنید. برای معادله ax²+bx+c=0، جمع ریشه‌ها برابر −b/a و حاصل‌ضرب آن‌ها برابر c/a است. این دو رابطه ابزار کنترل‌اند، نه جایگزینی برای دقت در مراحل اصلی.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

دلتا یک شاخص سریع برای تحلیل معادله درجه دوم است: Δ>0 دو ریشه حقیقی متفاوت، Δ=0 یک ریشه حقیقی تکراری و Δ<0 بدون ریشه حقیقی نشان می‌دهد. برای به‌دست‌آوردن مقدار ریشه‌ها، ضرایب را درست شناسایی کنید و علامت‌های منفی را داخل پرانتز نگه دارید. تمرین ۱: معادله 3x²−5x−2=0 را حل کنید. پاسخ کامل: a=3، b=−5 و c=−2 است. Δ=(−5)²−4(3)(−2)=25+24=49. پس x=(5±7)/6؛ ریشه‌ها x=2 و x=−1/3 هستند. تمرین ۲: تعداد ریشه‌های حقیقی معادله 4x²+4x+1=0 را تعیین کنید. پاسخ کامل: Δ=4²−4(4)(1)=16−16=0؛ بنابراین یک ریشه حقیقی تکراری داریم و x=−4/8=−1/2 است.

تمرین خودسنجی با پاسخ