مکان ریشههای درجه دوم؛ شرط بازه و تعیین پارامتر
آموزش استفاده از دلتا، ویتا و علامت تابع برای تعیین تعداد و محل ریشههای معادله پارامتری در تست.
پاسخ کوتاه
در سؤالهای پارامتری، تنها حقیقیبودن ریشهها کافی نیست و ممکن است هر دو ریشه مثبت، منفی یا در دو سوی یک عدد مشخص خواسته شوند. ترکیب دلتا، مجموع و حاصلضرب ریشهها و علامت سهمی در نقطه مرزی، شرطهای دقیق مکان ریشه را میسازد.
وجود ریشه حقیقی
برای ax²+bx+c با a≠0، دو ریشه حقیقی متمایز نیازمند Δ>0 و ریشه مضاعف نیازمند Δ=0 است. اگر مسئله دو ریشه در بازههای جدا میخواهد، متمایزبودن معمولاً خودبهخود لازم است و باید Δ>0 نوشته شود.
هر دو ریشه مثبت یا منفی
با ریشههای α و β، روابط ویتا α+β=-b/a و αβ=c/a هستند. برای هر دو ریشه مثبت، حاصلضرب مثبت و مجموع مثبت لازم است؛ برای هر دو منفی، حاصلضرب مثبت و مجموع منفی، همراه با شرط حقیقیبودن لازم است.
ریشهها با علامت مخالف
اگر αβ<0 باشد، دو ریشه حقیقی و با علامت مخالفاند و دلتا نیز خودبهخود مثبت میشود. در این حالت نیازی به شرط جداگانه مجموع نیست؛ علامت c/a سریعترین معیار است.
دو سوی یک عدد
برای اینکه عدد t بین دو ریشه سهمی باشد، مقدار f(t) و ضریب a علامت مخالف دارند؛ یعنی af(t)<0. این شرط همراه با وجود دو ریشه، قرارگرفتن t در فاصله بین آنها را بدون حل کامل معادله نشان میدهد.
انتقال بازه
برای بررسی مثبتبودن α-t و β-t، تغییر متغیر x=y+t انجام بده. معادله جدید برحسب y ساخته میشود و شرطهای مجموع و حاصلضرب مثبت روی ریشههای y اعمال میشوند؛ این روش برای هر دو ریشه بزرگتر از t مفید است.
مثال حلشده
معادله x²-(m+1)x+m=0 ریشههای 1 و m دارد، زیرا به (x-1)(x-m) تجزیه میشود. برای دو ریشه مثبت و متمایز باید m>0 و m≠1 باشد؛ دلتا بهتنهایی فقط تمایز را بررسی میکند.
چکلیست حل تست
- دلتا مکان ریشهها را بهتنهایی تعیین نمیکند.
- برای دو ریشه همعلامت از مجموع و حاصلضرب کمک بگیر.
- شرط af(t)<0 یعنی t بین دو ریشه سهمی است.