معادلات رادیکالی؛ دامنه، توانرسانی و کنترل جواب
آموزش تعیین دامنه، تنهاکردن رادیکال، توانرسانی مرحلهای و حذف جوابهای اضافی در معادلات رادیکالی.
پاسخ کوتاه
توان دوم گرفتن از دو طرف معادله رادیکالی ممکن است جواب تازهای بسازد که در سؤال اصلی معتبر نیست. روش مطمئن این است که ابتدا دامنه و علامت طرف مقابل را بنویسیم، هر بار فقط یک رادیکال را تنها کنیم و در پایان همه جوابها را جایگذاری کنیم.
شرط تعریف و علامت
برای رادیکال زوج √u باید u≥0 باشد. اگر √u=v نوشته شود، علاوه بر u≥0 باید v≥0 نیز برقرار باشد، چون رادیکال اصلی منفی نیست. این شرط دوم بسیاری از جوابهای اضافی را پیش از حل حذف میکند.
تنهاکردن رادیکال
جمله رادیکالی را در یک طرف تنها کن و سپس دو طرف را به توان دو برسان. اگر چند رادیکال وجود دارد، پس از سادهسازی یکی از آنها را دوباره تنها کن. توانرسانی همزمانِ عبارت شلوغ معمولاً جملههای اضافی و خطای محاسباتی ایجاد میکند.
جواب اضافی
از A=B نتیجه A²=B² میشود، اما برعکس آن همیشه درست نیست؛ چون A²=B² میتواند A=-B نیز داشته باشد. بنابراین توان دوم یک تبدیل همارز کامل نیست. هر ریشه معادله جبری حاصل باید در معادله اولیه آزمایش شود.
دو رادیکال
در معادله √u+√v=c، ابتدا یکی از رادیکالها را جدا کن. بعد از توان دوم هنوز ممکن است یک رادیکال باقی بماند؛ آن را جدا و دوباره توانرسانی کن. شرط c≥0 و دامنه هر دو رادیکال را از ابتدا نگه دار.
مثال و تست کوتاه
برای √(x+1)=x-1 باید x≥1 باشد. با توان دوم، x+1=x²-2x+1 و سپس x(x-3)=0 به دست میآید. از دو نامزد صفر و 3، فقط x=3 شرط x≥1 را دارد و جایگذاری نیز √4=2 را تأیید میکند.
چکلیست حل تست
- داخل رادیکال زوج باید نامنفی باشد.
- پیش از توانرسانی رادیکال را تنها کن.
- تمام جوابها را در معادله اولیه جایگذاری کن.