قضیه ریشه گویا؛ ساخت نامزدها و آزمون سریع
آموزش یافتن نامزدهای ریشه گویای چندجملهای، کنترل مقسومعلیهها و آزمون با روش هورنر در تست کنکور.
پاسخ کوتاه
قضیه ریشه گویا همه نامزدهای ممکن را فهرست میکند، اما تضمین نمیکند هر نامزد ریشه باشد. برای چندجملهای با ضرایب صحیح، صورت ریشه گویا باید مقسومعلیه جمله ثابت و مخرج آن مقسومعلیه ضریب پیشرو باشد.
بیان قضیه
اگر p/q در سادهترین شکل ریشه چندجملهای a_nx^n+...+a_0 با ضرایب صحیح باشد، p مقسومعلیه a_0 و q مقسومعلیه a_n است. هر دو علامت مثبت و منفی باید بررسی شوند و q را میتوان مثبت گرفت.
ساخت فهرست نامزدها
مقسومعلیههای مثبت و منفی جمله ثابت را برای p و مقسومعلیههای مثبت ضریب پیشرو را برای q بنویس. کسرهای تکراری را پس از سادهسازی حذف کن. اگر چندجملهای تکین باشد، نامزدهای گویا فقط مقسومعلیههای صحیح جمله ثابتاند.
آزمون با هورنر
هر نامزد را با جایگذاری یا تقسیم هورنر آزمایش کن. اگر باقیمانده صفر شود، x-r عامل چندجملهای است و خارجقسمت درجهای کمتر دارد. بهتر است نامزدهای ساده مانند 1، منفی 1 و مقسومعلیههای کوچک را زودتر امتحان کنیم.
ریشههای تکراری
پس از یافتن ریشه r، ممکن است خارجقسمت نیز در r صفر شود؛ در این صورت ریشه چندگانگی بیشتر دارد. قضیه ریشه گویا درباره وجود و تعداد تکرار چیزی نمیگوید و آزمون عامل باید تا باقینماندن آن ادامه پیدا کند.
مثال و تست کوتاه
برای 2x³-3x²-8x+12، نامزدهای گویا از ±1، ±2، ±3، ±4، ±6، ±12 و نیم آنها ساخته میشوند. جایگذاری x=2 مقدار صفر میدهد؛ پس x-2 عامل است و تقسیم، 2x²+x-6 را باقی میگذارد.
چکلیست حل تست
- صورت از مقسومعلیههای ثابت و مخرج از ضریب پیشرو میآید.
- قضیه فقط نامزد میسازد؛ هر نامزد را آزمایش کن.
- بعد از یافتن ریشه، تکرار عامل را کنترل کن.