دنباله بازگشتی؛ ساخت جملهها و یافتن الگوی عمومی
آموزش محاسبه جملههای دنباله بازگشتی، تشخیص الگو، نقطه ثابت و حل تستهای مرتبط با دنبالهها.
پاسخ کوتاه
در دنباله بازگشتی هر جمله از یک یا چند جمله قبلی ساخته میشود. برخلاف فرمول جمله عمومی، برای شروع باید مقدار اولیه را داشته باشیم. در تستها چند جمله نخست را منظم میسازیم و سپس الگو، تناوب یا مقدار ثابت را بررسی میکنیم.
مقدار اولیه و رابطه
رابطه a_(n+1)=F(a_n) بدون مقدار a_1 دنباله یکتایی نمیسازد. ابتدا اندیس رابطه را با جمله خواستهشده هماهنگ کن. برای یافتن a_4 از a_1، رابطه باید سه بار اجرا شود؛ خطای یکواحدی در تعداد تکرار از دامهای رایج است.
ساخت جدول جملهها
یک جدول با ستونهای n و a_n بساز و هر مرحله را جدا حساب کن. این کار در روابط کسری یا علامتدار مانع جایگذاری اشتباه میشود. اگر جملهای صفر یا مخرجی صفر شود، ادامه دنباله ممکن است تعریفنشده باشد و باید دامنه رابطه را کنترل کرد.
دنباله بازگشتی خطی
در رابطه a_(n+1)=ra_n+d، اگر r=1 باشد دنباله حسابی با قدر نسبت افزایشی d داریم. اگر d=0 باشد دنباله هندسی است. برای حالت عمومی میتوان نقطه ثابت L=d/(1-r) را پیدا کرد و دنباله b_n=a_n-L را هندسی دید.
نقطه ثابت و همگرایی
اگر جملهها به حد L نزدیک شوند و تابع رابطه پیوسته باشد، با قرار دادن L=F(L) نامزد حد به دست میآید. حل این معادله بهتنهایی همگرایی را ثابت نمیکند؛ باید از رفتار جملهها، کرانداری یا اطلاعات دادهشده در سؤال نیز استفاده شود.
مثال و تست کوتاه
اگر a_1=1 و a_(n+1)=2a_n+3 باشد، جملهها 1، 5، 13 و 29 هستند. نقطه ثابت رابطه L=2L+3 برابر -3 است. با تعریف b_n=a_n+3 داریم b_(n+1)=2b_n و بنابراین b_n=4×2^(n-1).
چکلیست حل تست
- رابطه بازگشتی را همراه مقدار اولیه بخوان.
- برای a_n از a_1 رابطه را n-1 بار اجرا کن.
- معادله نقطه ثابت بهتنهایی همگرایی را ثابت نمیکند.