سرعت نسبی در مسائل حرکت ریاضی؛ از متن سؤال تا معادله

پاسخ کوتاه

سرعت نسبی در مسائل حرکت ریاضی کمک می‌کند حرکت دو جسم را از دید ناظر مناسب ساده کنیم. به جای حفظ چند فرمول پراکنده، کافی است جهت حرکت، مکان آغازین و قانون تغییر مکان را دقیق بنویسیم؛ سپس فاصله دو جسم را به صورت تابعی از زمان بررسی کنیم.

ایده اصلی و انتخاب ناظر

اگر دو جسم روی یک خط در جهت یکسان حرکت کنند، سرعت جسم اول نسبت به دوم برابر تفاضل سرعت‌هاست: vنسبی=v₁−v₂. اگر در جهت مخالف حرکت کنند، با انتخاب یک جهت مثبت، سرعت‌ها علامت مخالف می‌گیرند و اندازه سرعت نزدیک‌شدن برابر قدرمطلق تفاضل جبری آن‌هاست. بنابراین جمع یا تفاضل سرعت‌ها نتیجه قرارداد علامت است، نه یک قانون جداگانه برای حفظ‌کردن.

ساخت مدل مکان

محور را روی مسیر حرکت قرار دهید و مبدأ را آگاهانه انتخاب کنید. مکان جسمی با سرعت ثابت از رابطه x(t)=x₀+vt به دست می‌آید؛ x₀ مکان آغازین و v سرعت علامت‌دار است. برای دو جسم، فاصله جهت‌دار چنین است: d(t)=x₂(t)−x₁(t). زمان ملاقات زمانی است که d(t)=0، اما اگر سؤال فاصله معمولی بخواهد باید |d(t)| را در نظر بگیریم.

سرعت نسبی در مسائل حرکت ریاضی

دوچرخه‌سواری از مکان صفر با سرعت ۶ متر بر ثانیه و دونده‌ای از مکان ۱۲۰ متر با سرعت ۴ متر بر ثانیه به سوی او حرکت می‌کند. با مثبت‌گرفتن جهت دونده، مکان‌ها x₁=6t و x₂=120−4t هستند. در زمان ملاقات 6t=120−4t، پس 10t=120 و t=12 ثانیه. همین پاسخ از رابطه فاصله اولیه تقسیم بر سرعت نزدیک‌شدن، یعنی 120/(6+4)، نیز به دست می‌آید.

حرکت هم‌جهت و سبقت

در حرکت هم‌جهت، جسم عقب فقط وقتی به جسم جلو می‌رسد که سرعت بیشتری داشته باشد. اگر فاصله اولیه L و سرعت‌ها به ترتیب vتند و vکند باشند، زمان سبقت از رابطه t=L/(vتند−vکند) به دست می‌آید. این رابطه فقط برای سرعت نسبی مثبت معتبر است. اگر دو سرعت برابر باشند، فاصله ثابت می‌ماند و سبقت رخ نمی‌دهد.

حرکت با توقف یا چند مرحله

در مسائل چندمرحله‌ای، مسیر کل را یک‌جا با سرعت میانگین اشتباه نگیرید. برای هر مرحله زمان را جدا بنویسید: t=s/v. اگر جسم مدتی توقف دارد، سرعت آن مرحله صفر است اما زمان توقف به زمان کل اضافه می‌شود. سپس مجموع مسافت‌ها و مجموع زمان‌ها را ترکیب کنید. سرعت متوسط برابر مسافت کل تقسیم بر زمان کل است، نه میانگین ساده سرعت‌های مرحله‌ها.

نمودار و کنترل پاسخ

در نمودار مکان ـ زمان، شیب هر قطعه سرعت را نشان می‌دهد. شیب مثبت یعنی حرکت در جهت مثبت، شیب منفی یعنی حرکت برگشتی و شیب صفر یعنی توقف. برخورد دو نمودار مکان ـ زمان، زمان ملاقات را نشان می‌دهد. در پایان، واحدها را یکسان کنید و بررسی کنید زمان منفی یا خارج از بازه مرحله به دست نیامده باشد.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

برای حل مسئله، مسیر را محورگذاری کنید، سرعت‌ها را علامت‌دار بنویسید، مکان هر جسم را مدل کنید و شرط موردنظر را روی فاصله اعمال کنید. کنترل هندسی و واحدها، خطاهای محاسباتی را آشکار می‌کند.

تمرین‌های خودسنجی با پاسخ

تمرین ۱: دو خودرو با فاصله ۲۱۰ متر در یک جاده روبه‌روی هم حرکت می‌کنند و سرعتشان ۱۵ و ۲۰ متر بر ثانیه است. چند ثانیه بعد به هم می‌رسند؟ پاسخ: سرعت نزدیک‌شدن ۱۵+۲۰=۳۵ متر بر ثانیه است؛ بنابراین t=۲۱۰/۳۵=۶ ثانیه. تمرین ۲: جسمی با سرعت ۸ متر بر ثانیه، ۴۰ متر عقب‌تر از جسمی با سرعت ۳ متر بر ثانیه حرکت می‌کند. زمان رسیدن چقدر است؟ پاسخ: حرکت هم‌جهت است، پس سرعت نسبی ۸−۳=۵ متر بر ثانیه و زمان رسیدن ۴۰/۵=۸ ثانیه است. تمرین ۳: مسافری ۶۰ کیلومتر را با سرعت ۳۰ کیلومتر بر ساعت می‌پیماید و ۲۰ دقیقه توقف می‌کند. زمان کل سفر چقدر است؟ پاسخ: زمان حرکت ۶۰/۳۰=۲ ساعت و زمان توقف ۱/۳ ساعت است؛ پس زمان کل ۷/۳ ساعت، یعنی ۲ ساعت و ۲۰ دقیقه، می‌شود.

تمرین خودسنجی با پاسخ