مشتق دوم، تقعر و نقطه عطف؛ تحلیل نمودار در کنکور
آموزش تعیین تقعر، نقطه عطف و ارتباط مشتق دوم با تغییرات شیب نمودار همراه مثالهای تستی کنکور.
پاسخ کوتاه
مشتق اول جهت حرکت تابع را نشان میدهد و مشتق دوم تغییر شیب را بررسی میکند. در تستهای نموداری، دانستن علامت مشتق دوم کمک میکند شکل خمیدگی، بازههای تقعر و نامزدهای نقطه عطف را سریع و دقیق تعیین کنیم.
معنای مشتق دوم
مشتق دوم f'' مشتقِ تابع f' است و سرعت تغییر شیب را میسنجد. اگر f'' مثبت باشد، شیب در حال افزایش است و نمودار تقعر رو به بالا دارد. اگر f'' منفی باشد، شیب کاهش مییابد و تقعر رو به پایین است.
جدول علامت تقعر
نقاطی را که f'' صفر یا تعریفنشده است پیدا کن و محور را به بازهها تقسیم کن. علامت f'' را در هر بازه با عدد آزمایشی تعیین کن. صفرشدن مشتق دوم بهتنهایی نقطه عطف را ثابت نمیکند؛ تغییر علامت تقعر لازم است.
نقطه عطف
نقطه عطف نقطهای از نمودار است که نوع تقعر در دو سوی آن عوض میشود. علاوه بر تغییر علامت f''، خود تابع باید در آن نقطه تعریف شده باشد. ممکن است مشتق دوم در نقطه وجود نداشته باشد، اما با تغییر تقعر همچنان نقطه عطف داشته باشیم.
ارتباط با مشتق اول
وقتی f''>0 است، تابع f' صعودی و وقتی f''<0 است، f' نزولی است. این رابطه در سؤالهایی که نمودار مشتق اول داده شده کاربرد دارد: صعودی یا نزولی بودن نمودار f' مستقیماً علامت مشتق دوم و تقعر f را نشان میدهد.
مثال و تست کوتاه
برای f(x)=x³-3x² داریم f''(x)=6x-6. مشتق دوم در x=1 صفر میشود؛ در چپ آن منفی و در راست آن مثبت است، پس تقعر از پایین به بالا تغییر میکند. چون f(1)=-2 است، نقطه عطف نمودار (1,-2) خواهد بود.
چکلیست حل تست
- علامت f'' نوع تقعر را تعیین میکند.
- صفرشدن مشتق دوم بدون تغییر علامت کافی نیست.
- مختصات y نقطه عطف را از خود تابع بگیر.