حل معادله قدرمطلق با نمودار فاصله‌ای؛ از فاصله تا جواب

پاسخ کوتاه

حل معادله قدرمطلق با نمودار فاصله‌ای یعنی عبارت داخل قدرمطلق را به‌عنوان فاصله از یک نقطه روی محور ببینیم. اگر |x-3|=5 باشد، فاصله x از عدد ۳ برابر ۵ است؛ بنابراین دو جواب x=8 و x=-2 به‌دست می‌آید. این نگاه، دلیل وجود دو جواب و روش کنترل آن‌ها را روشن می‌کند.

قدر مطلق به‌عنوان فاصله

برای هر عدد حقیقی a، مقدار |x-a| فاصله نقطه x از نقطه a روی محور اعداد است. فاصله همیشه نامنفی است و اگر x=a باشد، مقدار آن صفر می‌شود. بنابراین معادله |x-a|=r فقط وقتی جواب دارد که r≥0 باشد. اگر r مثبت باشد، معمولاً دو نقطه در دو طرف a با فاصله برابر r داریم؛ اگر r صفر باشد، تنها جواب x=a است.

حل مستقیم معادله‌های ساده

در معادله |x-a|=r، دو حالت می‌نویسیم: x-a=r یا x-a=-r. پس x=a+r یا x=a-r خواهد بود. برای نمونه، |x+2|=4 را به دو معادله x+2=4 و x+2=-4 تبدیل می‌کنیم. جواب‌ها به‌ترتیب x=2 و x=-6 هستند. جایگذاری در عبارت اصلی نشان می‌دهد هر دو فاصله‌ای برابر ۴ از عدد -۲ دارند.

حل معادله قدرمطلق با نمودار فاصله‌ای

نمودار y=|x-a| یک شکل V مانند دارد که رأس آن در (a,0) است. برای حل |x-a|=r، خط افقی y=r را رسم یا در ذهن تصور می‌کنیم و تعداد برخوردهای آن با نمودار را می‌شماریم. اگر r>0 باشد، خط در دو نقطه برخورد می‌کند؛ اگر r=0 باشد، فقط رأس را لمس می‌کند؛ و اگر r<0 باشد، چون نمودار زیر محور افقی نمی‌رود، هیچ برخوردی وجود ندارد.

مثال ترکیبی با ضریب

معادله 2|x-1|=6 را ابتدا بر ۲ تقسیم می‌کنیم و به |x-1|=3 می‌رسیم. فاصله x از ۱ باید ۳ باشد؛ پس x=1+3=4 یا x=1-3=-2. کنترل: در x=4، سمت چپ برابر 2×3=6 است و در x=-2 نیز 2×3=6 می‌شود. ضریب بیرونی را نباید هنگام نوشتن دو حالت فراموش کرد.

چه زمانی جواب نداریم؟

در معادله |2x+1|=-3 هیچ جواب حقیقی وجود ندارد، چون قدرمطلق نمی‌تواند منفی باشد. در معادله |x-4|=0 فقط x=4 پذیرفته است. اگر دو طرف معادله شامل عبارت‌های پیچیده‌تر باشند، ابتدا باید امکان نامنفی‌بودن هر طرف را بررسی کنیم و سپس به حالت‌های جداگانه برسیم. این بررسی سریع از محاسبات اضافی جلوگیری می‌کند.

چک‌لیست کنترل پاسخ

ابتدا عبارت داخل قدرمطلق را به شکل فاصله از یک عدد تشخیص بده. سپس علامت سمت راست را بررسی کن. اگر مقدار مثبت بود، دو حالت مثبت و منفی بنویس؛ اگر صفر بود، فقط حالت صفر را حل کن؛ اگر منفی بود، پاسخ حقیقی وجود ندارد. در پایان همه جواب‌ها را در معادله اصلی جایگذاری کن، مخصوصاً وقتی پیش از حل در دو طرف ضرب یا تقسیم انجام داده‌ای.

جمع‌بندی؛ نمودار فاصله جواب را روشن می‌کند

قدر مطلق فاصله است، پس معادله‌ای مانند |x-a|=r از ما می‌خواهد نقاطی را پیدا کنیم که فاصله‌شان از a برابر r باشد. مقدار مثبت دو جواب متقارن، مقدار صفر یک جواب و مقدار منفی هیچ جواب حقیقی می‌سازد. روش نموداری همین ایده را با برخورد خط افقی و نمودار V نمایش می‌دهد و برای کنترل پاسخ‌های جبری بسیار مفید است.

تمرین‌های خودسنجی

تمرین ۱: معادله |x-5|=2 را حل کنید. پاسخ کامل: x باید در فاصله ۲ از ۵ باشد؛ بنابراین x=5+2=7 یا x=5-2=3. با جایگذاری، هر دو مقدار قدرمطلقی برابر ۲ می‌دهند. تمرین ۲: معادله 3|x+1|=0 را حل کنید. پاسخ کامل: با تقسیم بر ۳ داریم |x+1|=0. قدرمطلق فقط وقتی صفر است که x+1=0؛ پس x=-1 تنها جواب است. تمرین ۳: معادله |2x-4|=-1 چند جواب حقیقی دارد؟ پاسخ کامل: سمت چپ نامنفی است، اما سمت راست منفی است؛ بنابراین معادله هیچ جواب حقیقی ندارد.

تمرین خودسنجی با پاسخ