حل نامعادله قدرمطلق با محور اعداد؛ تبدیل فاصله به بازه

پاسخ کوتاه

حل نامعادله قدرمطلق با محور اعداد زمانی ساده می‌شود که قدرمطلق را فاصله عدد از صفر بدانیم. برای نمونه، |x−3|<2 یعنی فاصله x از عدد ۳ کمتر از ۲ است؛ پس x باید بین ۱ و ۵ باشد و جواب به‌صورت ۱<x<۵ نوشته می‌شود. در این روش، به‌جای حفظ‌کردن چند حالت پراکنده، مرکز بازه و شعاع آن را می‌خوانیم و سپس کران‌ها را با توجه به نوع نامساوی کنترل می‌کنیم.

معنای هندسی قدرمطلق

عبارت |x−a| فاصله نقطه x از نقطه a روی محور اعداد است. بنابراین |x−a|<r یعنی نقاطی را می‌خواهیم که فاصله‌شان از a کمتر از r باشد. این نقاط داخل بازه (a−r,a+r) قرار می‌گیرند. اگر نامساوی ≤ باشد، دو سر بازه نیز پذیرفته می‌شوند و جواب [a−r,a+r] است؛ البته باید r نامنفی باشد.

حل نامعادله قدرمطلق با محور اعداد

برای حل، ابتدا مرکز a و فاصله r را مشخص کن. در نامعادله |x−a|<r، دو کران a−r و a+r را بساز و بازه داخلی را انتخاب کن. در |x−a|>r، نقاطی را می‌خواهیم که بیرون از فاصله r باشند؛ بنابراین x<a−r یا x>a+r خواهد بود. علامت < یا ≤ بازه باز یا بسته را تعیین می‌کند و علامت > یا ≥ دو بازه بیرونی می‌سازد.

مثال محاسباتی اول؛ بازه داخلی

نامعادله |2x−6|≤4 را در نظر بگیر. ابتدا ۲ را از قدرمطلق خارج می‌کنیم: 2|x−3|≤4، پس |x−3|≤2. مرکز ۳ و شعاع ۲ است؛ بنابراین −۲≤x−۳≤۲ و با افزودن ۳ به هر سه بخش، ۱≤x≤۵ به دست می‌آید. جواب [1,5] است. برای کنترل، x=3 فاصله صفر دارد و باید پذیرفته شود؛ x=6 فاصله ۳ دارد و پذیرفته نمی‌شود.

مثال محاسباتی دوم؛ ناحیه بیرونی

برای |x+1|>3، عبارت را به شکل |x−(−1)|>3 می‌خوانیم. مرکز −۱ و شعاع ۳ است. دو مرز برابرند با −۴ و ۲؛ چون نقاط بیرون از فاصله ۳ خواسته شده‌اند، جواب x<−4 یا x>2 است. کران‌ها وارد جواب نمی‌شوند، زیرا در x=−4 یا x=2 مقدار قدرمطلق دقیقاً ۳ است، نه بزرگ‌تر از ۳.

خطاهای رایج و چک‌لیست

اگر ضریب بیرون قدرمطلق منفی باشد، ابتدا نامعادله را با تقسیم بر عدد منفی ساده کن و جهت نامساوی را برگردان. اگر شعاع به‌دست‌آمده منفی شد، در نامعادله‌ای مانند |x−a|<r هیچ جوابی نداریم، چون فاصله نمی‌تواند منفی باشد؛ اما در |x−a|>r همه عددها جواب‌اند. در پایان یک عدد داخل بازه، یک عدد بیرون بازه و در صورت امکان خود کران را آزمایش کن.

جمع‌بندی حل نامعادله قدرمطلق با محور اعداد

قدر مطلق را فاصله بدان: |x−a|<r بازه‌ای در اطراف a و |x−a|>r دو ناحیه بیرونی می‌سازد. برای < و > کران‌ها باز هستند و برای ≤ و ≥، کران‌های مجاز بسته می‌شوند. قبل از رسم، ضریب قدرمطلق را ساده کن، مرکز و شعاع را بنویس و سپس جواب را با جایگذاری آزمایشی بررسی کن.

تمرین‌های خودسنجی

تمرین ۱: نامعادله |x−4|<3 را حل کنید. تمرین ۲: نامعادله |3x+6|≥9 را حل کنید.

پاسخ کامل تمرین‌ها

پاسخ تمرین ۱: مرکز ۴ و شعاع ۳ است؛ بنابراین ۱<x<۷ و جواب (1,7) است. پاسخ تمرین ۲: ابتدا |3x+6|=3|x+2|، پس 3|x+2|≥9 و در نتیجه |x+2|≥3. فاصله x از −۲ باید دست‌کم ۳ باشد؛ بنابراین x≤−5 یا x≥1 و جواب (−∞,−5]∪[1,∞) است. با قرار دادن x=0، مقدار سمت چپ ۶ و نامعادله نادرست می‌شود؛ پس ۰ نباید در جواب باشد و این کنترل نیز نتیجه را تأیید می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ