ریاضی کنکوریهمه مقالههاحل معادله درجه سوم با تجزیه؛ پیدا کردن ریشه‌ها مرحله‌به‌مرحله
آموزش حل معادله‌های درجه سوم با خارج کردن عامل مشترک، آزمون ریشه‌های ساده و تجزیه کامل، همراه مثال و تمرین خودسنجی.
پاسخ کوتاه
حل معادله درجه سوم با تجزیه زمانی سریع و مطمئن است که ابتدا همه جمله‌ها را به یک طرف ببریم، عامل مشترک یا ریشه ساده را پیدا کنیم و سپس هر عامل را جداگانه صفر قرار دهیم. نکته مهم این است که پیش از تقسیم یا ساده‌سازی، همه جواب‌های احتمالی را از دست ندهیم.
از فرم استاندارد شروع کنیم
معادله را به شکل P(x)=0 بنویس. اگر جمله ثابت، جمله‌های x و x² در دو طرف پخش باشند، ابتدا آن‌ها را جمع کن. سپس پرانتزها را باز و هم‌جنس‌ها را ترکیب کن. هدف این است که یک چندجمله‌ای درجه سوم در یک طرف و صفر در طرف دیگر داشته باشیم.
حل معادله درجه سوم با تجزیه
در چندجمله‌ای x³+ax²+bx+c، ابتدا عامل مشترک را بررسی کن. اگر همه جمله‌ها ضریب مشترک دارند، آن را بیرون بکش. سپس ریشه‌های ساده مانند ۱، منفی ۱، ۲ و منفی ۲ را در عبارت امتحان کن. هر مقداری که P(r)=0 بدهد، نشان می‌دهد x-r یک عامل است.
تقسیم یا تجزیه پس از پیدا کردن ریشه
اگر x=r ریشه باشد، چندجمله‌ای بر x-r بخش‌پذیر است. می‌توانی با تقسیم ترکیبی یا گروه‌بندی، عامل درجه دوم باقی‌مانده را پیدا کنی. بعد معادله درجه دوم را با تجزیه، کامل کردن مربع یا فرمول دلتا حل کن. در پایان، تمام ریشه‌های واقعی یا مختلط موردنیاز سؤال را فهرست کن.
مثال محاسباتی کامل
معادله x³-6x²+11x-6=0 را در نظر بگیر. مقدارهای ساده را امتحان می‌کنیم: P(1)=1-6+11-6=0؛ پس x-1 عامل است. تجزیه چندجمله‌ای برابر (x-1)(x²-5x+6) است. عامل دوم نیز به (x-2)(x-3) تجزیه می‌شود. بنابراین سه جواب معادله x=1، x=2 و x=3 هستند. با ضرب دوباره عامل‌ها می‌توان صحت تجزیه را کنترل کرد.
ریشه تکراری و کنترل جواب
اگر یک عامل مانند (x-2) دوبار ظاهر شود، ریشه ۲ تکراری است؛ برای نمونه (x-2)²(x+1)=0 ریشه‌های ۲ با تکرار دو و ۱ با تکرار یک دارد. تکرار ریشه به معنی جواب‌های عددی متفاوت بیشتر نیست. پس از به‌دست‌آوردن جواب‌ها، هرکدام را در معادله اصلی جای‌گذاری کن تا خطای علامت یا تجزیه نادرست آشکار شود.
چک‌لیست حل تست
یک: همه جمله‌ها را به یک طرف ببر. دو: عامل مشترک را بیرون بکش. سه: ریشه‌های ساده را امتحان کن. چهار: عامل پیدا‌شده را جدا کن. پنج: معادله درجه دوم باقی‌مانده را حل کن. شش: جواب‌ها را در عبارت اصلی بررسی کن. اگر سؤال فقط ریشه‌های صحیح می‌خواهد، پس از یافتن یک ریشه، معمولاً ادامه تجزیه مسیر کوتاه‌تری دارد.
جمع‌بندی؛ از حدس تا کنترل نهایی
در یک معادله درجه سوم، پیدا کردن حتی یک ریشه ساده، مسئله را به یک معادله درجه دوم تبدیل می‌کند. حدس ریشه باید با محاسبه P(r)=0 تأیید شود و هر تجزیه نیز با ضرب عامل‌ها کنترل شود. این دو کنترل کوتاه، از بیشتر خطاهای علامتی و حذف جواب جلوگیری می‌کنند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: معادله x³-4x²+x+6=0 را حل کنید.
ابتدا ریشه‌های ساده را امتحان می‌کنیم. P(2)=8-16+2+6=0، پس x-2 عامل است. تقسیم چندجمله‌ای بر x-2، عبارت x²-2x-3 را می‌دهد. این عبارت به (x-3)(x+1) تجزیه می‌شود. بنابراین جواب‌ها x=2، x=3 و x=-1 هستند.
تمرین ۲: معادله 2x³-8x²+8x=0 را حل کنید.
عامل مشترک 2x را خارج می‌کنیم: 2x(x²-4x+4)=0. عبارت داخل پرانتز مربع کامل است: (x-2)². پس یا 2x=0 و x=0، یا (x-2)²=0 و x=2. جواب‌های عددی متمایز ۰ و ۲ هستند؛ عدد ۲ ریشه تکراری است.
تمرین ۳: آیا x=1 ریشه معادله x³+2x²-x-2=0 است؟ سپس معادله را کامل حل کنید.
داریم P(1)=1+2-1-2=0، پس x-1 عامل است. با گروه‌بندی می‌نویسیم x²(x+2)-1(x+2)=(x²-1)(x+2)=(x-1)(x+1)(x+2). بنابراین جواب‌ها ۱، منفی ۱ و منفی ۲ هستند.
چک‌لیست حل تست
- همیشه ابتدا معادله را برابر صفر کن.
- برای عامل x-r باید مقدار r را در چندجمله‌ای جای‌گذاری کنی.
- پس از تقسیم، درجه و ضریب جمله‌های باقی‌مانده را کنترل کن.
- ریشه تکراری را با چند جواب متفاوت اشتباه نگیر.
- جواب نهایی را در معادله اصلی امتحان کن.