ریاضی کنکوریهمه مقالههامعادله درجه دوم به روش مربع کامل؛ آموزش مرحله‌به‌مرحله
در این درس یاد می‌گیرید چگونه معادله درجه دوم را با افزودن و کاستن یک مقدار مناسب به مربع کامل تبدیل کنید و جواب‌ها را با جایگذاری کنترل کنید.
پاسخ کوتاه
برای معادله درجه دوم به روش مربع کامل، جمله‌های دارای متغیر را طوری مرتب می‌کنیم که یک سه‌جمله‌ای مربع کامل بسازند. سپس همان مقدار را به دو طرف معادله اضافه می‌کنیم، ریشه دوم می‌گیریم و در پایان جواب‌ها را در رابطه اصلی می‌سنجیم. این روش نشان می‌دهد فرمول حل معادله از کجا می‌آید و در معادله‌هایی که ضریب جمله درجه دوم یک است، مسیر شفافی دارد.
مربع کامل یعنی چه؟
الگوی اصلی مربع کامل چنین است: x²+2ax+a²=(x+a)² و نیز x²−2ax+a²=(x−a)². پس اگر ضریب x را بدانیم، باید نصف آن را پیدا و مربعش را به عبارت اضافه کنیم. نکته مهم این است که هر مقداری به یک طرف اضافه می‌شود، همان مقدار باید به طرف دیگر هم اضافه شود تا تساوی تغییر نکند.
معادله را برای ساخت الگو آماده کن
ابتدا جمله ثابت را به طرف دیگر ببرید و اگر ضریب x² یک نیست، همه جمله‌ها را بر آن ضریب تقسیم کنید. برای نمونه، در x²+6x−7=0 داریم x²+6x=7. حالا فقط باید عددی پیدا کنیم که x²+6x را به مربع کامل تبدیل کند.
معادله درجه دوم به روش مربع کامل
نصف ضریب x برابر ۳ است و مربع آن ۹ می‌شود؛ بنابراین ۹ را به هر دو طرف اضافه می‌کنیم: x²+6x+9=7+9. سمت چپ برابر (x+3)² و سمت راست برابر ۱۶ است. پس (x+3)²=16 و با گرفتن ریشه دوم، x+3=4 یا x+3=−4. در نتیجه جواب‌ها x=1 و x=−7 هستند.
کنترل علامت هنگام ریشه‌گیری
از رابطه y²=16 نمی‌توان فقط y=4 را نتیجه گرفت؛ y می‌تواند ۴ یا −۴ باشد. همین علامت ± دلیل داشتن دو شاخه در مرحله ریشه‌گیری است. اگر سمت راست صفر باشد، یک جواب تکراری داریم؛ اگر منفی شود، در مجموعه اعداد حقیقی جوابی وجود ندارد. پیش از ریشه‌گیری، همین وضعیت را بررسی کن.
وقتی ضریب جمله درجه دوم یک نیست
در معادله 2x²+8x−10=0، ابتدا همه جمله‌ها را بر ۲ تقسیم می‌کنیم و به x²+4x−5=0 می‌رسیم. سپس x²+4x=5 را می‌نویسیم. نصف ضریب x برابر ۲ و مربع آن ۴ است؛ با افزودن ۴ به دو طرف، (x+2)²=9 به دست می‌آید، بنابراین x=1 یا x=−5.
چک‌لیست حل و کنترل جواب
۱) ضریب جمله درجه دوم را یک کن. ۲) جمله ثابت را جدا کن. ۳) نصف ضریب x را بیاب و مربع کن. ۴) همان مقدار را به دو طرف اضافه کن. ۵) ریشه‌گیری را با هر دو علامت انجام بده. ۶) جواب‌ها را در معادله ابتدایی جایگذاری کن. این کنترل، خطاهای ناشی از جابه‌جایی علامت یا محاسبه مربع را آشکار می‌کند.
جمع‌بندی روش مربع کامل
در این روش، هدف تبدیل سه‌جمله‌ای درجه دوم به مربع یک دوجمله‌ای است. عدد کلیدی همیشه مربع نصف ضریب جمله خطی است. با حفظ تساوی، انجام ریشه‌گیری دوحالته و جایگذاری نهایی، می‌توان پاسخ را دقیق و قابل بررسی به دست آورد. این مسیر همچنین ارتباط میان شکل جبری معادله و ساختار فرمول حل را روشن می‌کند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
معادله x²−8x+7=0 را با این روش حل کنید.
داریم x²−8x=−7. نصف ضریب x برابر −4 و مربع آن 16 است؛ پس (x−4)²=9. بنابراین x−4=3 یا x−4=−3 و جواب‌ها x=7 و x=1 هستند. با جایگذاری، هر دو تساوی برقرار می‌شوند.
معادله x²+2x+5=0 چه نتیجه‌ای دارد؟
از x²+2x=−5 شروع می‌کنیم. با افزودن 1 به دو طرف، (x+1)²=−4 به دست می‌آید. چون مربع یک عدد حقیقی منفی نیست، این معادله در اعداد حقیقی جواب ندارد.
معادله 3x²−12x+9=0 را حل و کنترل کنید.
با تقسیم بر 3، x²−4x+3=0 داریم. پس x²−4x=−3. مربع نصف ضریب x برابر 4 است؛ بنابراین (x−2)²=1. از اینجا x=3 یا x=1. جایگذاری در معادله اصلی نیز برای هر دو مقدار صفر می‌دهد.
چک‌لیست حل تست
- پیش از افزودن عدد، ضریب جمله درجه دوم را یک کن.
- مربع نصف ضریب جمله خطی را به هر دو طرف اضافه کن.
- در ریشه‌گیری علامت مثبت و منفی را هر دو بنویس.
- هر جواب را در معادله اصلی جایگذاری و کنترل کن.