حل معادله درجه دوم با روش تغییر متغیر؛ ساده‌سازی معادلات توان‌دار

پاسخ کوتاه

حل معادله درجه دوم با روش تغییر متغیر زمانی مفید است که توان‌های متغیر با فاصله منظم تکرار شوند؛ برای نمونه در x⁴−5x²+4=0، اگر t=x² بگیریم، عبارت به t²−5t+4=0 تبدیل می‌شود و سپس باید جواب‌های t را به متغیر اصلی برگردانیم.

ایده اصلی تغییر متغیر

در این روش، یک عبارت تکرارشونده را به متغیری تازه تبدیل می‌کنیم. اگر معادله فقط شامل x⁴ و x² باشد، معمولاً t=x² انتخاب مناسبی است؛ زیرا x⁴ برابر t² می‌شود. هدف این نیست که نمادها را بی‌دلیل عوض کنیم، بلکه باید ساختار معادله به شکل درجه دوم در t برسد.

حل معادله درجه دوم با روش تغییر متغیر

معادله x⁴−5x²+4=0 را در نظر بگیر. با t=x²، داریم t²−5t+4=0. تجزیه می‌کنیم: (t−1)(t−4)=0، پس t=1 یا t=4. اکنون جایگذاری را برعکس می‌کنیم: x²=1 یا x²=4. بنابراین x=±1 و x=±2؛ پاسخ‌ها چهار مقدار هستند، چون هر دو مقدار t مثبت‌اند.

چگونه جایگذاری مناسب را پیدا کنیم؟

اگر توان‌ها 6 و 3 باشند، عبارت‌هایی مانند x⁶ و x³ نشان می‌دهند که t=x³ می‌تواند مفید باشد؛ در این صورت x⁶=t² خواهد شد. در معادله‌ای مانند x⁶−7x³+10=0، با همین انتخاب به t²−7t+10=0 می‌رسیم و بعد باید هر معادله x³=t را جداگانه حل کنیم. الگوی توان‌ها باید پیش از هر محاسبه شناسایی شود.

کنترل دامنه و جواب‌های واقعی

هر جواب به‌دست‌آمده برای t الزاماً جواب واقعی برای x نمی‌سازد. اگر t=x² باشد، در مجموعه اعداد حقیقی باید t≥0 باشد؛ پس نتیجه‌ای مانند t=−3 حذف می‌شود. اگر t=x³ باشد، برای هر t حقیقی یک ریشه حقیقی وجود دارد. این کنترل از وارد شدن جواب‌های نامعتبر جلوگیری می‌کند.

مثال محاسباتی دوم

معادله x⁴−13x²+36=0 را حل می‌کنیم. با t=x²، معادله t²−13t+36=0 به صورت (t−4)(t−9)=0 تجزیه می‌شود؛ پس t=4 یا t=9. از x²=4، دو جواب x=2 و x=−2 داریم و از x²=9، دو جواب x=3 و x=−3 به دست می‌آید. با جایگذاری در معادله اصلی، هر چهار جواب تأیید می‌شوند.

چک‌لیست حل سریع

۱) توان‌ها و عبارت تکرارشونده را پیدا کن. ۲) متغیر تازه را تعریف کن. ۳) معادله جدید را حل کن. ۴) محدودیت متغیر تازه را بررسی کن. ۵) هر جواب را به x برگردان. ۶) جواب‌ها را در معادله اولیه امتحان کن. اگر تغییر متغیر باعث شود توان‌ها ساده‌تر نشوند، انتخاب دیگری انجام بده یا روش مستقیم را به کار ببر.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

تغییر متغیر زمانی ارزشمند است که یک معادله چندتوانی را به الگوی درجه دوم تبدیل کند. مهم‌ترین مرحله پس از حل معادله جدید، بازگشت دقیق به متغیر اصلی و بررسی محدودیت‌هاست. تمرین ۱: x⁴−10x²+9=0 را حل کن. پاسخ کامل: با t=x²، معادله t²−10t+9=0 است؛ بنابراین (t−1)(t−9)=0 و t=1 یا 9. پس x=±1 یا x=±3. تمرین ۲: x⁶−5x³+6=0 را حل کن. پاسخ کامل: t=x³ می‌گیریم؛ t²−5t+6=0 و در نتیجه (t−2)(t−3)=0. پس x³=2 یا x³=3 و جواب‌های حقیقی x=∛2 و x=∛3 هستند.

تمرین خودسنجی با پاسخ