حل معادله رادیکالی با بررسی جواب اضافی؛ روش امن و مرحله‌ای

پاسخ کوتاه

حل معادله رادیکالی با بررسی جواب اضافی سه گام اصلی دارد: شرط تعریف رادیکال را بنویسید، با دقت توان دوم بگیرید و در پایان همه جواب‌ها را در معادله اصلی جای‌گذاری کنید. توان‌رسانی ممکن است شرط لازم را حفظ کند اما شرط کافی نباشد؛ بنابراین هیچ ریشه‌ای بدون کنترل نهایی پذیرفته نمی‌شود.

حل معادله رادیکالی با بررسی جواب اضافی

ابتدا عبارت زیر رادیکال را مشخص کنید. برای ریشه دوم باید این عبارت نامنفی باشد. سپس اگر یک رادیکال تنها در یک طرف معادله قرار دارد، دو طرف را به توان دو برسانید. بعد از ساده‌سازی، جواب‌های به‌دست‌آمده فقط نامزد هستند و باید در معادله اولیه بررسی شوند.

شرط تعریف و نقش آن در پاسخ

اگر معادله به شکل √(x−2)=x−4 باشد، از سمت چپ می‌دانیم x−2≥0 و از سمت راست نیز باید x−4≥0 باشد، چون ریشه دوم نامنفی است. پس x≥4 شرط لازم است. نوشتن این شرط پیش از محاسبه، بسیاری از جواب‌های نامعتبر را از همان ابتدا حذف می‌کند.

وقتی یک رادیکال در معادله داریم

برای معادله √(x+3)=5، هر دو طرف را مربع می‌کنیم: x+3=25، پس x=22. جایگذاری در معادله اصلی نشان می‌دهد √25=5؛ بنابراین جواب معتبر است. در این حالت، چون طرف راست نامنفی است، خطر جواب اضافی کمتر است، اما کنترل هنوز ضروری است.

مثال وجود جواب اضافی

معادله √(x+1)=x−1 را در نظر بگیرید. شرط سمت راست می‌گوید x≥1. با مربع‌کردن داریم x+1=(x−1)²، یعنی x²−3x=0 و بنابراین x=0 یا x=3. مقدار صفر شرط x≥1 را ندارد و در معادله اصلی نیز √1 برابر ۱ اما x−1 برابر منفی ۱ است؛ پس اضافی است. تنها پاسخ x=3 است، چون √4=2 و 3−1=2.

وقتی دو رادیکال در دو طرف هستند

در معادله √(x+5)=√(2x−1)، شرط‌ها x≥−5 و x≥1/2 هستند؛ پس دامنه مشترک x≥1/2 است. مربع‌کردن مستقیم می‌دهد x+5=2x−1 و در نتیجه x=6. چون دو طرف اصلی در این دامنه نامنفی‌اند، جایگذاری √11=√11 اعتبار پاسخ را تأیید می‌کند.

چک‌لیست جلوگیری از خطا

۱) زیر هر رادیکال را نامنفی کن. ۲) اگر رادیکال برابر یک عبارت است، نامنفی‌بودن آن عبارت را هم بررسی کن. ۳) پیش از مربع‌کردن، اگر لازم است رادیکال را تنها کن. ۴) معادله جدید را حل کن. ۵) هر ریشه را در معادله اولیه جای‌گذاری کن، نه فقط در معادله مربع‌شده. ۶) پاسخ نهایی را با شرط تعریف مقایسه کن.

جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

جمع‌بندی: در معادله‌های رادیکالی، توان دوم‌کردن ممکن است اطلاعات علامت را از بین ببرد؛ به همین دلیل پاسخ معادله حاصل از مربع‌کردن قطعی نیست. شرط تعریف و جایگذاری در معادله اصلی دو فیلتر نهایی‌اند. تمرین ۱: معادله √(x−1)=3 را حل کنید. پاسخ کامل: شرط تعریف x≥1 است. با مربع‌کردن، x−1=9 و بنابراین x=10. کنترل: √9=3، پس پاسخ معتبر است. تمرین ۲: معادله √(x+2)=x را حل کنید. پاسخ کامل: چون سمت چپ نامنفی است، باید x≥0 باشد. با مربع‌کردن داریم x+2=x²، پس x²−x−2=0 و (x−2)(x+1)=0. نامزدها ۲ و −۱ هستند؛ اما −۱ شرط x≥0 را ندارد. کنترل x=2: √4=2، پس تنها پاسخ ۲ است.

تمرین خودسنجی با پاسخ