حل دستگاه سه معادله سه مجهول؛ روش حذف مرحله‌ای با مثال

پاسخ کوتاه

برای حل دستگاه سه معادله سه مجهول، ابتدا یکی از مجهول‌ها را از دو جفت معادله حذف کن تا دو معادله دو مجهولی به دست آید؛ سپس دستگاه جدید را حل کن و جواب‌ها را در یکی از معادله‌های اصلی جایگذاری کن. در پایان، هر سه مقدار را در هر سه معادله بررسی کن تا خطای علامت یا حذف اشتباه آشکار شود. این روش برای دستگاه‌های خطی دبیرستانی روشن، قابل پیگیری و مناسب کنترل پاسخ است.

حل دستگاه سه معادله سه مجهول از کجا شروع می‌شود؟

دستگاه را به شکل سه رابطه خطی مانند x+y+z=6، 2x−y+z=3 و x+2y−z=2 بنویس. پیش از ضرب یا تفریق، مجهولی را انتخاب کن که ضریب‌های ساده‌تری دارد. هدف مرحله اول این نیست که همه جواب‌ها را یک‌باره پیدا کنیم؛ فقط باید دو معادله بسازیم که یک مجهول مشترک نداشته باشند.

حذف مرحله‌ای یک مجهول

فرض کن دستگاه به صورت x+y+z=6، 2x−y+z=3 و x+2y−z=2 باشد. معادله دوم را از دو برابر معادله اول کم می‌کنیم: (2x−y+z)−(2x+2y+2z)=3−12، پس −3y−z=−9 و در نتیجه 3y+z=9. همچنین معادله سوم را از معادله اول کم می‌کنیم: (x+2y−z)−(x+y+z)=2−6، بنابراین y−2z=−4. اکنون دستگاه سه‌مجهولی به دو رابطه دومجهولی تبدیل شده است.

حل دستگاه دومجهولی حاصل

از رابطه 3y+z=9 داریم z=9−3y. این عبارت را در رابطه y−2z=−4 قرار می‌دهیم: y−2(9−3y)=−4. پس y−18+6y=−4 و 7y=14؛ بنابراین y=2. با جایگذاری در z=9−3y، به z=3 می‌رسیم. حالا از معادله اول داریم x+2+3=6، پس x=1. جواب پیشنهادی دستگاه برابر (x,y,z)=(1,2,3) است.

کنترل جواب و تشخیص خطای علامت

کنترل را فقط با یک معادله انجام نده. در مثال بالا، معادله اول 1+2+3=6 است؛ معادله دوم 2(1)−2+3=3 و معادله سوم 1+2(2)−3=2 می‌شود. هر سه رابطه درست‌اند، پس جواب پذیرفتنی است. اگر یکی از سه جایگذاری‌ها ناسازگار شد، معمولاً خطا در جابه‌جایی علامت، ضرب‌کردن کل معادله یا کم‌کردن دو رابطه رخ داده است.

وقتی ضرایب برابر نیستند چه کنیم؟

برای حذف یک مجهول لازم است ضریب‌های آن را برابر یا قرینه کنیم. مثلاً اگر در دو معادله ضریب‌های x به‌ترتیب 2 و 3 باشند، معادله اول را در 3 و دومی را در 2 ضرب می‌کنیم؛ سپس یکی را از دیگری کم می‌کنیم. ضرب باید روی همه جمله‌ها و عدد سمت راست انجام شود. حذف ناقص فقط یک جمله، دستگاه تازه‌ای می‌سازد که با مسئله اصلی برابر نیست.

حالت‌های ویژه دستگاه

پس از حذف ممکن است به رابطه‌ای مانند 0=5 برسیم؛ این یعنی دستگاه ناسازگار است و جواب مشترک ندارد. اگر به 0=0 برسیم، دو رابطه اطلاعات یکسانی داده‌اند و برای تعیین جواب یکتا باید معادله‌های باقی‌مانده را دقیق‌تر بررسی کنیم. در تمرین‌های معمول، سه معادله مستقل به یک سه‌تایی مشخص می‌رسند، اما نوشتن این کنترل از حدس‌زدن جواب مطمئن‌تر است.

جمع‌بندی حل دستگاه سه معادله سه مجهول

ترتیب امن کار چنین است: مجهول مناسب را انتخاب کن، آن را از دو جفت معادله حذف کن، دستگاه دومجهولی را حل کن، مجهول حذف‌شده را با جایگذاری به دست آور و در پایان هر سه معادله اصلی را بررسی کن. اگر ضرایب بزرگ شدند، قبل از ادامه می‌توانی یک معادله را بر عامل مشترک تقسیم کنی؛ به شرط آنکه این تقسیم برای همه جمله‌ها و طرف راست انجام شود.

تمرین خودسنجی با پاسخ