حل مسئله مجموع و حاصل‌ضرب دو عدد با معادله؛ از متن تا پاسخ

پاسخ کوتاه

برای حل مسئله مجموع و حاصل‌ضرب دو عدد با معادله، یکی از عددها را x و عدد دیگر را بر اساس مجموع آن‌ها بنویسید؛ سپس حاصل‌ضرب را به شکل یک معادله درجه دوم درآورید. در پایان، هر دو ریشه را با شرط‌های مسئله و مقدارهای خواسته‌شده کنترل کنید.

ایده اصلی تبدیل متن به مجهول

فرض کنید مجموع دو عدد برابر S و حاصل‌ضرب آن‌ها برابر P باشد. اگر عدد اول را x بگیریم، عدد دوم S-x است. چون حاصل‌ضرب دو عدد P داده شده، داریم: x(S-x)=P. با باز کردن پرانتز، معادله به شکل x²-Sx+P=0 می‌رسد. ریشه‌های این معادله همان دو عدد هستند. این روش زمانی مناسب است که فقط مجموع و حاصل‌ضرب دو عدد را می‌دانیم. اگر در متن، ترتیب دو عدد مهم نباشد، جابه‌جایی ریشه‌ها پاسخ تازه‌ای ایجاد نمی‌کند.

حل مسئله مجموع و حاصل‌ضرب دو عدد با معادله

فرض کنید مجموع دو عدد 11 و حاصل‌ضرب آن‌ها 24 باشد. عدد اول را x و عدد دوم را 11-x می‌گیریم. بنابراین x(11-x)=24 و پس از ساده‌سازی داریم: x²-11x+24=0. با تجزیه، (x-3)(x-8)=0؛ پس x=3 یا x=8. اگر x=3 باشد عدد دوم 8 است و اگر x=8 باشد عدد دوم 3. بنابراین دو عدد 3 و 8 هستند. کنترل مستقیم نشان می‌دهد 3+8=11 و 3×8=24؛ پس هر دو شرط مسئله برقرار است.

استفاده از رابطه‌های ویتا برای بررسی سریع

در معادله x²-Sx+P=0، مجموع ریشه‌ها برابر S و حاصل‌ضرب ریشه‌ها برابر P است. این همان رابطه‌های ویتاست و به شما اجازه می‌دهد بدون حل کامل، پاسخ‌های احتمالی را بررسی کنید. برای نمونه، اگر مجموع 13 و حاصل‌ضرب 40 باشد، باید دو عددی پیدا کنیم که جمعشان 13 و ضربشان 40 باشد. عددهای 5 و 8 هر دو شرط را دارند. اگر معادله به‌سادگی تجزیه نشود، از فرمول درجه دوم استفاده کنید: x=(S±√(S²-4P))/2. مقدار زیر رادیکال باید برای جواب‌های حقیقی نامنفی باشد.

نقش علامت‌ها و شرط‌های مسئله

اگر مجموع دو عدد مثبت و حاصل‌ضرب آن‌ها مثبت باشد، دو عدد می‌توانند هر دو مثبت یا هر دو منفی باشند و باید از مقدار مجموع کمک بگیریم. اگر حاصل‌ضرب منفی باشد، علامت دو عدد مخالف است. این نکته پیش از حل، دامنه پاسخ را روشن می‌کند. در مسائل هندسی یا شمارشی، ممکن است فقط ریشه مثبت پذیرفتنی باشد؛ مثلاً طول ضلع نمی‌تواند منفی باشد. پس هر ریشه جبری را بدون بررسی وارد پاسخ نکنید. اگر متن درباره دو عدد متمایز باشد، برابر بودن دو ریشه نیز باید کنار گذاشته شود.

مثال با ریشه‌های اعشاری و کنترل جواب

مجموع دو عدد 7 و حاصل‌ضرب آن‌ها 10 است. معادله x(7-x)=10 به x²-7x+10=0 تبدیل می‌شود و به صورت (x-2)(x-5)=0 تجزیه می‌گردد؛ بنابراین عددها 2 و 5 هستند. حال اگر مجموع 6 و حاصل‌ضرب 8 باشد، معادله x²-6x+8=0 و ریشه‌ها 2 و 4 می‌شوند. برای کنترل هر پاسخ، سه کار انجام دهید: جمع دو ریشه را حساب کنید، حاصل‌ضربشان را بسنجید و شرط‌های اضافی متن را بررسی کنید. این کنترل کوتاه خطای علامت در ساخت معادله را آشکار می‌کند.

جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

جمع‌بندی: برای این نوع مسئله، عددها را x و S-x بگیرید، شرط حاصل‌ضرب را جای‌گذاری کنید، معادله درجه دوم بسازید و ریشه‌ها را با متن مقایسه کنید. رابطه‌های ویتا برای حدس و کنترل سریع مفیدند، اما شرط‌هایی مانند مثبت بودن یا متمایز بودن عددها را نباید فراموش کرد. تمرین ۱: مجموع دو عدد 15 و حاصل‌ضرب آن‌ها 56 است. عددها را بیابید. پاسخ کامل: معادله x(15-x)=56 است؛ بنابراین x²-15x+56=0. تجزیه می‌کنیم: (x-7)(x-8)=0. پس عددها 7 و 8 هستند. کنترل: 7+8=15 و 7×8=56. تمرین ۲: دو عدد حقیقی مجموعشان 4 و حاصل‌ضربشان 5 است. آیا چنین عددهایی وجود دارند؟ پاسخ کامل: معادله x²-4x+5=0 است. مميز آن برابر Δ=16-20=-4 می‌شود که منفی است؛ بنابراین این معادله ریشه حقیقی ندارد و چنین دو عدد حقیقی وجود ندارند.

تمرین خودسنجی با پاسخ