ریاضی کنکوریهمه مقالههاحل معادله‌های کسری با بررسی مخرج؛ از حذف کسر تا کنترل جواب
در این آموزش یاد می‌گیریم چگونه معادله‌های کسری را با تعیین شرط تعریف، حذف مخرج و کنترل جواب حل کنیم و ریشه‌های نامعتبر را کنار بگذاریم.
پاسخ کوتاه
برای حل معادله‌های کسری با بررسی مخرج، ابتدا مقدارهایی را که مخرج را صفر می‌کنند کنار بگذار، سپس کل معادله را در ک.م.م مخرج‌ها ضرب کن و در پایان جواب‌ها را در معادله اصلی بیازما. این ترتیب جلوی پذیرفتن ریشه‌های نامعتبر را می‌گیرد.
چرا شرط تعریف مهم است؟
در هر معادله کسری، هیچ مخرجی نباید صفر شود. برای نمونه در معادله 2/(x-3)=1، مقدار x=3 از ابتدا مجاز نیست، چون کسر در این مقدار تعریف نمی‌شود. شرط تعریف را پیش از هر ساده‌سازی بنویس: x≠3. اگر چند مخرج داری، همه عامل‌های مخرج را صفر کن و مقدارهای ممنوع را در یک مجموعه ثبت کن.
حل معادله‌های کسری با بررسی مخرج
روش استاندارد چهار گام دارد: یک، مخرج‌ها را تجزیه کن و شرط تعریف را بنویس؛ دو، کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها را پیدا کن؛ سه، هر دو طرف را در آن ضرب و پرانتزها را دقیق باز کن؛ چهار، جواب‌های به‌دست‌آمده را با شرط تعریف و سپس با معادله اصلی کنترل کن. ضرب‌کردن در عبارت دارای متغیر فقط وقتی بی‌خطر است که بدانیم آن عبارت صفر نیست؛ شرط تعریف همین اطمینان را فراهم می‌کند.
مثال محاسباتی مرحله‌به‌مرحله
معادله 3/(x-1)+1=5/(x-1) را در نظر بگیر. شرط تعریف x≠1 است. چون تنها مخرج x-1 داریم، دو طرف را در x-1 ضرب می‌کنیم: 3+(x-1)=5. پس x+2=5 و x=3. این جواب با شرط تعریف سازگار است. کنترل در معادله اصلی نیز درست است: 3/2+1=5/2.
وقتی چند مخرج متفاوت داریم
برای معادله 1/x+2/(x+1)=3، شرط‌ها x≠0 و x≠-1 هستند. ک.م.م مخرج‌ها x(x+1) است. با ضرب کل معادله در آن، داریم x+2(x+1)=3x(x+1). بنابراین 3x+2=3x²+3x و در نتیجه 3x²=2؛ پس x=√(2/3) یا x=-√(2/3). هر دو نه صفرند و نه منفی یک، پس هر دو جواب معتبرند.
خطاهای پرتکرار و چک‌لیست
مخرج مشترک را فقط در یک جمله ضرب نکن؛ باید در تمام جمله‌های دو طرف توزیع شود. علامت منفیِ جلوی پرانتز را کنترل کن. پیش از حذف مخرج، مقدارهای ممنوع را یادداشت کن. پس از حل، هر ریشه را در معادله اصلی جایگذاری کن. اگر در ساده‌سازی عاملی از صورت و مخرج حذف شد، صفرشدن همان عامل همچنان باید از دامنه حذف شود؛ ساده‌سازی، شرط تعریف اولیه را برنمی‌گرداند.
جمع‌بندی حل سریع
در تست‌ها این ترتیب را حفظ کن: مخرج‌ها را تجزیه کن، شرط تعریف را بنویس، ک.م.م را بساز، همه جمله‌ها را ضرب کن، معادله حاصل را حل کن و جواب‌ها را در عبارت اصلی کنترل کن. اگر جواب نهایی مخرج را صفر کند، بدون توجه به درست‌بودن محاسبات میانی باید حذف شود. این کنترل کوتاه معمولاً مهم‌تر از سرعت حذف کسرهاست.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: معادله 2/(x+2)=1/(x-1) را حل کن.
پاسخ کامل: شرط تعریف x≠-2 و x≠1 است. با ضرب در (x+2)(x-1) داریم 2(x-1)=x+2؛ بنابراین 2x-2=x+2 و x=4. چون 4 هیچ‌یک از مخرج‌ها را صفر نمی‌کند، پاسخ نهایی x=4 است.
تمرین ۲: معادله 1/(x-2)+1/(x+2)=1 را حل کن.
پاسخ کامل: شرط تعریف x≠2 و x≠-2 است. ک.م.م برابر (x-2)(x+2) است. پس (x+2)+(x-2)=x²-4؛ یعنی 2x=x²-4 و x²-2x-4=0. با فرمول درجه دوم، x=(2±√20)/2=1±√5. هر دو مقدار با 2 و -2 برابر نیستند، پس هر دو جواب معتبرند.
چک‌لیست حل تست
- شرط تعریف را قبل از ضرب‌کردن در مخرج مشترک بنویس.
- مخرج مشترک را در همه جمله‌های دو طرف توزیع کن.
- هر جواب را در معادله اصلی و نه فقط معادله ساده‌شده کنترل کن.
- مقدارهای ممنوع پس از ساده‌سازی نیز ممنوع باقی می‌مانند.