∑ ریاضی کنکوریهمه مقاله‌ها
مجموع تلسکوپی دنباله‌ها · بازبینی 2026-09-05

مجموع‌های تلسکوپی در دنباله‌ها؛ حذف زنجیره‌ای جمله‌ها با یک ایده ساده

روش تشخیص و محاسبه مجموع‌های تلسکوپی دنباله‌ها را با تجزیه کسرها، حذف جمله‌های میانی، استدلال دقیق و تمرین‌های خودسنجی یاد بگیرید.

پاسخ کوتاه

بعضی مجموع‌ها در نگاه اول طولانی و دشوارند، اما جمله‌هایشان طوری ساخته شده‌اند که بیشتر اجزا با هم خنثی می‌شوند. به این مجموع‌ها تلسکوپی می‌گوییم؛ زیرا مانند جمع‌شدن بخش‌های یک تلسکوپ، پس از نوشتن چند جمله، فقط ابتدا و انتهای زنجیره باقی می‌ماند. مهارت اصلی در این مبحث، تشخیص ساختار مناسب و تبدیل هر جمله به تفاضل دو عبارت متوالی است. این روش در دنباله‌ها، سری‌های محدود و برخی مسائل تابعی کاربرد دارد و به جای محاسبه ده‌ها جمله، مسئله را به بررسی چند جمله آغازین و پایانی تبدیل می‌کند.

۱) ایده اصلی مجموع تلسکوپی

اگر جمله عمومی به صورت a_k=b_k-b_{k+1} نوشته شود، مجموع n جمله نخست چنین است: S_n=(b_1-b_2)+(b_2-b_3)+...+(b_n-b_{n+1}). هر جمله میانی یک بار با علامت مثبت و بار دیگر با علامت منفی ظاهر می‌شود؛ بنابراین حذف می‌شود و می‌ماند: S_n=b_1-b_{n+1}. این حذف، نتیجه مستقیم توزیع‌پذیری و جابه‌جایی محدود جمله‌هاست و به حدس یا تقریب وابسته نیست.

۲) چگونه ساختار را پیدا کنیم؟

رایج‌ترین الگو، کسرهایی با مخرج‌های متوالی است. برای نمونه، اگر جمله‌ای مانند 1/[k(k+1)] ببینیم، آن را به صورت 1/k-1/(k+1) می‌نویسیم؛ زیرا 1/k-1/(k+1)=(k+1-k)/[k(k+1)]=1/[k(k+1)]. در حالت کلی، اگر مخرج حاصل‌ضرب دو عامل خطی متفاوت باشد، می‌توان از تجزیه کسرهای جزئی استفاده کرد: 1/[(k+a)(k+b)]=1/(b-a)[1/(k+a)-1/(k+b)].

۳) محاسبه یک نمونه عمومی

مجموع S_n=Σ از k=1 تا n از 1/[k(k+1)] را بررسی کنید. با تجزیه کسر، هر جمله برابر 1/k-1/(k+1) است. پس S_n=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)=n/(n+1). توجه کنید که اگر به جای نوشتن الگو، صورت و مخرج را جداگانه جمع کنیم، ساختار حذف‌شونده از بین می‌رود و محاسبه بی‌دلیل دشوار می‌شود.

۴) اختلاف اندیس‌ها و جمله‌های باقی‌مانده

همه مجموع‌های تلسکوپی دقیقاً فقط یک جمله در ابتدا و یک جمله در انتها باقی نمی‌گذارند. مثلاً در عبارت b_k-b_{k+2} داریم: (b_1-b_3)+(b_2-b_4)+...+(b_n-b_{n+2}). در اینجا جمله‌ها در دو زنجیره با اندیس‌های زوج و فرد حذف می‌شوند و چهار جمله باقی می‌ماند: b_1+b_2-b_{n+1}-b_{n+2}. بنابراین باید چند جمله نخست را بنویسیم تا الگوی حذف را درست ببینیم.

۵) ارتباط با دنباله و حد

اگر S_n مجموع n جمله نخست باشد، خود دنباله از تفاضل دو مجموع متوالی به دست می‌آید: a_n=S_n-S_{n-1}. در نمونه بالا، S_n=n/(n+1) و بنابراین S_n به ۱ نزدیک می‌شود؛ یعنی lim S_n=1. اگر جمله‌های انتهایی مانند b_{n+1} در حد به صفر میل کنند، مجموع تلسکوپی می‌تواند حدی ساده داشته باشد. با این حال، برای مجموع محدود باید همان تعداد جمله مشخص‌شده را حساب کنیم و نباید بی‌دلیل از مفهوم حد استفاده کنیم.

۶) خطاهای رایج و روش کنترل

در تجزیه کسر، علامت تفاضل و ضریب بیرونی را بررسی کنید؛ یک علامت اشتباه کل پاسخ را عوض می‌کند. همچنین اندیس آخر را با دقت بنویسید: در مجموع k=1 تا n از b_k-b_{k+1}، آخرین عبارت b_n-b_{n+1} است، نه b_n-b_n. بهترین کنترل این است که برای n=1 یا n=2، هم فرمول نهایی و هم جمع مستقیم را محاسبه کنید. اگر دو نتیجه یکسان نبودند، مشکل معمولاً از اندیس‌گذاری یا تجزیه اولیه است.

تمرین خودسنجی با پاسخ

تمرین ۱: مقدار S_n=Σ از k=1 تا n از 1/[k(k+2)] را به دست آورید.

پاسخ: داریم 1/[k(k+2)]=1/2(1/k-1/(k+2)). پس S_n=1/2[(1+1/2)-(1/(n+1)+1/(n+2))]. بنابراین S_n=3/4-1/[2(n+1)]-1/[2(n+2)].

تمرین ۲: مجموع زیر را محاسبه کنید: (1/3-1/5)+(1/4-1/6)+(1/5-1/7)+...+(1/10-1/12).

پاسخ: جمله عمومی از k=3 تا 10 برابر 1/k-1/(k+2) است. دو زنجیره حذف می‌شوند و می‌ماند 1/3+1/4-1/11-1/12. با مخرج مشترک یا محاسبه جداگانه، حاصل برابر 59/132 است.

تمرین ۳: اگر a_k=1/[k(k+1)] باشد، مجموع پنج جمله نخست را هم مستقیم و هم با روش تلسکوپی بیابید.

پاسخ: روش تلسکوپی: S_5=1-1/6=5/6. جمع مستقیم 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30 نیز پس از مخرج مشترک برابر 5/6 می‌شود؛ این برابری، الگوی تجزیه و اندیس پایانی را تأیید می‌کند.

چک‌لیست حل تست