مجموعهای تلسکوپی؛ حذف جملههای میانی در سیگما
آموزش تجزیه جمله عمومی، نوشتن مجموعهای جزئی و حذف متوالی جملهها برای محاسبه سریع سیگما.
پاسخ کوتاه
در مجموع تلسکوپی، هر جمله به تفاضل دو عبارت تبدیل میشود و بخش بزرگی از جملهها با هم حذف میشوند. کلید حل، یافتن این تجزیه و نوشتن چند جمله اول و آخر است؛ بازکردن همه جملهها لازم نیست.
الگوی تفاضلی
اگر جمله عمومی به صورت F(k)-F(k+1) باشد، در مجموع از k=1 تا n تقریباً همه عبارتها جفتجفت حذف میشوند. فقط F(1)-F(n+1) باقی میماند. جهت تفاضل علامت جواب نهایی را تعیین میکند.
تجزیه کسرها
کسر 1/[k(k+1)] برابر 1/k-1/(k+1) است. برای مخرجهای خطیِ ضربشده، از کسرهای جزئی استفاده کن. ضرایب را با هممخرجکردن یا قرار دادن ریشه هر عامل سریع به دست آور.
نمایش جملههای مرزی
پس از تجزیه، سه جمله نخست و دو جمله آخر را بنویس. این نمایش مشخص میکند کدام عبارتها حذف میشوند و مرز واقعی چیست. خطای رایج استفاده از n به جای n+1 در آخرین عبارت باقیمانده است.
گامهای بزرگتر
گاهی جمله به F(k)-F(k+2) تبدیل میشود. در این حالت دو زنجیره حذف جداگانه برای اندیسهای زوج و فرد داریم و معمولاً دو جمله آغازین و دو جمله پایانی باقی میمانند. باید فاصله اندیسها را در مرزها حفظ کرد.
مثال و تست کوتاه
برای Σ از k=1 تا n از 1/[k(k+1)] مینویسیم Σ(1/k-1/(k+1)). جملهها 1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1) هستند؛ پس جواب 1-1/(n+1)=n/(n+1) است.
چکلیست حل تست
- جمله عمومی را به تفاضل دو عبارت تبدیل کن.
- چند جمله اول و آخر را حتماً نمایش بده.
- اندیس آخر پس از انتقال را دقیق کنترل کن.